椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4,F1,F2分别为其左右焦点，抛物线Y2=-4X的焦点为F1

Question

过焦点F1的直线 L与椭圆交于P.Q两点，求三角形F2PQ面积的最大值

Answer 1

2a=4, a=2
F1(-1,0), 即c=1
b^2=a^2-c^2=3
C:x^2/4+y^2/3=1
当L垂直于x轴时取面积最大值，PQ座标 x=-1, y=+-1.5
PQ=2*1.5=3
S(F2PQ)=3*2/2=3

Answer 2

y^2=-4x的焦点是(-1,0)，c=1。a=2，b^2=a^2-c^2=3。
椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1。
当直线L的斜率不存在时，三角形F2PQ面积=3。
设直线L的方程为：x=my-1，代入椭圆方程得：(3m^2+4)y^2-6my-9=0。
yP+yQ=6m/(3m^+4)，yPyQ=-9/(3m^2+4)
[PQ]=√(m^2+1)√[(yP+yQ)^2-4yPyQ]
=√(m^2+1)√[36m^2/(3m^2+4)^2+36/(3m^2+4)]
=√(m^2+1)√[(144m^2+144)/(3m^2+4)^2]
=12(m^2+1)/(3m^2+4)
点F2到直线L的距离=[1+1]/√(m^2+1)=2/√(m^2+1)
三角形F2PQ面积=12√(m^2+1)/(3m^2+4)
=12√[(m^2+1)/(9m^4+24m^2+16)]
=12√{(m^2+1)/[9(m^2+1)^2+6(m^2+1)+1]}
=12√{1/[9(m^2+1)+1/(m^2+1)+6]
<=12√[1/(9+1+6)]
=3
所以，三角形F2PQ面积的最大值3。