答:三等分角公式:sin3α/sinα=1+2cos2α=(1+2cos2α)/1-这是一个相似三角形。它本身是一条直线,有无数个解。对于圆Q,令ρ=sin3α/sinα=1+2cos2α。下面我们来做图:
(1)圆心0,半径r作⊙O,得A、B;反向延长OB,交⊙0于C;
(2)圆心C,半径r,交OB反向延长线于P;
(3)圆心P,半径r作⊙P,外切于⊙O于C;
(4)联结PA,分别交⊙P于D(关键点)
(5)-(6)作DJ∥PB,交⊙O于J;
(7)作射线AJ;
(8)作DG⊥DJ,交AJ于G(关键点)
(9)-(11)过G作QI∥AP,交DJ延长线于I(关键点),交PB于Q(关键点);
(12)联结QA,交⊙O于K(关键点);
(13)圆心C,半径CK画弧交⊙P于M;
(14)作MKB1∥PB,交⊙O于B1;得∠AOB=3∠AQO;
(15)圆心A,半径CK画弧,交⊙O于A1;
(16)-(17)联结OA1;联结OB1。作图完毕。后面证明(略)。
有三等分角可以推论,n等分角也可以尺规作图。这一点数学家高斯的17等边形的做图为我提供了思路的借鉴。当n为偶数和当n是奇数时分别设n=2m和n=2m-1,这样n ∈N*时,角度从1-n就到可以做了。sin(2m-1)A/sinA=1+2cos2A+......+2cos2(m-1)A .......... (i)
sin2mA/sinA=2(cosA+cos3A+......+cos(2m-1)A.......(ii)
用数学归纳法证明推论正确。说明任意角可以n等分。我就不一一做图了,m=所用的等圆数量,n=半径数量。
备注:这两题和倍立方都是在2017年6月之前完成的。同学们可以用,但是,不可以公开发表。