求面积和旋转体体积

Question

题目：求由曲线 y=e^x 和 y=e^(-x) 及 x=1所围成的平面图形的面积及此图形绕x轴旋转一周所形成旋转体的体积。

题目有两问面积和体积，解题过程请尽量详细，感谢

Answer 1

y=e^x 和 y=e^(-x) 的交点为 (x，y ) = (0，1)
平面图形的面积S = ∫｛x = 0 →1｝[ e^x - e^(-x) ] dx
= ∫｛x = 0 →1｝ de^x + ∫｛x = 0 →1｝ de^(-x)
= e^x | {x = 0 →1} + e^(-x) | {x = 0 →1}
= e - 1 + 1/e - 1
= e + 1 / e - 2 或者 = (√e - 1/√e)² 再或者 ≈1.0862
此图形绕x轴旋转一周所形成旋转体的体积V
= ∫{x = 0 →1} π [ f1² - f2²] dx
= ∫{x = 0 →1} π [ e^(2x) - e^(-2x) ] dx
= π∫{x = 0 →1} e^(2x) dx - π∫{x = 0 →1} e^(-2x) dx
= π e^(2x)/2 | {x = 0 →1} + π e^(-2x) /2 | {x = 0 →1}
= π/2 * [e^2 - 1] + π/2 * [e^(-2) - 1]
= π/2 * [e^2 + e^(-2) - 2]
= π/2 * [e² + 1/e² - 2]
= π/2 * [e - 1/e] ² 或者 ≈ 8.68