必要性就不用证明了，地球人都知道
充分性证明：即X与Y不相关=>X与Y独立，下面用
反证法证明
设P{X=0}=1-p,P{X=1}=p;P{Y=0}=1-q,P{Y=1}=q;（p和q可相等可不相等）
X与Y不相关等价于Cov(X,Y)=0或EXY=EXEY或
相关系数等于0，下面进行反证法证明。
假设X和Y不独立，不妨设P{X=1,Y=1}不等于P{X=1}*P{Y=1}=pq;P{X=1,Y=1}=P{XY=1};P{XY=1}不等于pq（设为k）
因为XY的取值只能为0和1，所以P{XY=0}=1-k,P{XY=1}=k,(k不等于pq)；所以EXY=k(不等于pq)
因为EX=p,EY=q，所以EXY不等于EXEY，所以X与Y相关，与原命题矛盾，故假设错误，原命题正确
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