用拉格朗日定理证明不等式成立(详情见图片)

Question

我想知道我这样证明对不对？

Answer 1

ξ是存在而不是任意,
另外逻辑顺序上最好调整一下.
如果是我会这样写:
对任意实数a,
b,
求证:
|arctan(a)-arctan(b)|
≤
|a-b|.
证明:
不妨设a
<
b.
考虑函数f(x)
=
arctan(x),
则f(x)在[a,b]连续,
在(a,b)可导,
且f'(x)
=
1/(1+x²).
根据Lagrange中值定理,
存在ξ
∈
(a,b)使f'(ξ)
=
(f(a)-f(b))/(a-b).
于是|(f(a)-f(b))/(a-b)|
=
|f'(ξ)|
=
1/(1+ξ²)
≤
1.
即有|arctan(a)-arctan(b)|
=
|f(a)-f(b)|
≤
|a-b|,
证毕.

Answer 2

当x1=x2时显然成立；
当x1不等于x2时不妨令x1>x2，
又拉格朗日中值定理，存在x1>c>x2使
(sinx2-sinx1)/(x2-x1)=(sinx)'=cosx
由于|cosc|<=1,|sinx2-sinx1|<=|x2-x1|