人民教育出版社高中数学选修4-5第53页第1题怎么做

Question

如题所述

Answer 1

用数学归纳法证明。
（1）当n=3时，命题成立。
（2）假设当n=k时，命题成立，即（1+2+...+k）(1+1/2+....1/k)>=k^2+k-1。
当n=k+1时，[1+2+...+k+k+1][1+1/2+....1/k+1/(k+1)]
=（1+2+...+k）(1+1/2+....1/k)+（1+2+...+k）*1/(k+1)+(1+1/2+....1/k)*(k+1)+1
>=(k^2+k-1)+k/2+(1+1/2)*(k+1)+1
=k^2+3k+3/2
>=k^2+3k+1
=k^2+2k+1+k+1-1
=(k+1)^2+(k+1)-1
所以当n=k+1时不等式成立。
有（1）（2）知原不等式成立。

Answer 2

可以用归纳法证明的，
因为，当n=3时，命题成立。
假设当n=k时，命题成立，即（1+2+...+k）(1+1/2+....1/k)>=k^2+k-1。
当n=k+1时，[1+2+...+k+k+1][1+1/2+....1/k+1/(k+1)]
=（1+2+...+k）(1+1/2+....1/k)+（1+2+...+k）*1/(k+1)+(1+1/2+....1/k)*(k+1)+1
>=(k^2+k-1)+k/2+(1+1/2)*(k+1)+1
=k^2+3k+3/2
>=k^2+3k+1
=k^2+2k+1+k+1-1
=(k+1)^2+(k+1)-1
所以当n=k+1时不等式，
假设矛盾，所以不成立！