如图，线段AB的长为1

Question

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a e d c b
(1)线段AB上的点C满足关系式AC的平方=BC×AB，求线段AC的长度
（2）线段AC上的点D满足关系式AD的平方=CD×AC，求线段AD的长度
（3）线段AD上的点E满足关系式AE的平方=DE×AD，求线段AE的长度

Answer 1

AC=(√5-1)/2 AD=AC(√5-1)/2=((√5-1)/2)^2 AE=AD(√5-1)/2=((√5-1)/2)^3

Answer 2

第(1)小题：
设AC=x,根据ACxAC=BCxAB,且BC=AB-AC,AB=1
x^2=(1-x)
x^2+x-1=0
因为x>0
x=(-1+√5)/2
即 AC=(-1+√5)/2

第(2)小题:
设AD=y,根据ADxAD=CDxAC,且CD=AC-AD,已求得AC=x=(-1+√5)/2
y^2=(x-y)x
y^2+xy-x^2=0
因为y>0
y=[-x+(x√5)]/2=(3-√5)/2
即AD=(3-√5)/2

第(3)小题:
设AE=z,根据AExAE=DExAD,且DE=AD-AE,已求得AD=y=(3-√5)/2
z^2=(y-z)y
z^2+yz-y^2=0
因为z>0
z=[-y+(y√5)]/2=√5-2
即AE=√5-2

每题所求长度都是上一题所求线段的黄金分割，即
AD=[(√5-1)/2]AC
AE=[(√5-1)/2]AD