一道奥数题

Question

有一个数,它有12个约数,d1,d2,d3,d4……d12,且d1小于d2小于d3小于d4……小于d12，如果有一个约数dk，且dk=（d1+d2+d4）×d5，且d4-1=k，求这个数

Answer 1

首先设这个自然数是n，显然d1=1,而d2是n的最小质因子，注意到n有12个约数 ，因此他至多有3个不同的质因子。由于dk是n的约数并且大于d5，所以12≥k≥6,那么13≥d4≥7
下面分情况讨论：
① d4=12:
那么n至少有1、2、3、4、6这五个小于12的约数，所以12不可能是第12个约数；
②d4=8:
这时d1,d2,d3只能是1，2，4，由d5≤1+2+8=11,知道d5只能是11，于是d7=(1+2+8)×11=121
但这时22，44肯定也是n的约数，所以d7最大也不超过44，矛盾！
③d4=7:
这时d2只有2或者3两种可能。由于d6=(d1+d2+d4)×d5,所以可以确定d1+d2+d4=d5,且d6=d52
当d2=2时，由上式得d5=1+2+7=10,d6=100.但这时d6应该等于2×7=14，矛盾！
当d2=3时，由上式得d5=1+3+7,d6=121这是n已经有了3个不同的质因子：3，7，11。那么d3无论取什么值都不能满足要求，仍然不可能。
④d4=9:
这时显然d2=3,所以d5只能是11和13其中之一。并且d8=(1+3+9)×d5,说明n能被13整除。
如果d5=11,那么肯定d6=13，这样n只能是9×11×13，这时应该d3是9，矛盾
如果d5=13，那么d8=13×d5=169,但是在d5和d8之间至少还应该有3×13，9×13和d3×13三个数是n的约数，这不可能了。
⑤d4=13：
这时1+d2小于13，所以d5肯定不是13的倍数，这样(1+d2+13)×d5必然不是13的倍数，而d12（就是自然数n）是应该是13的倍数，矛盾！
⑥d4=11:
与上面一种情况完全类似地可以推出d10必然不是11的倍数，而d4=11,所以d4×d10还是n的约数，但是n=d3×d10,相互矛盾！
⑦d4=10:
这时前4个约数只能是1，2，5，10， 又1+2+10=13是n的约数，且n至多只能有3个不同的质因子，所以d5=13,这样d9=13×13=169是n的约数，因此n=2×5×132=1690

Answer 2

① d4=12:
那么n至少有1、2、3、4、6这五个小于12的约数，所以12不可能是第12个约数；
②d4=8:
这时d1,d2,d3只能是1，2，4，由d5≤1+2+8=11,知道d5只能是11，于是d7=(1+2+8)×11=121
但这时22，44肯定也是n的约数，所以d7最大也不超过44，矛盾！
③d4=7:
这时d2只有2或者3两种可能。由于d6=(d1+d2+d4)×d5,所以可以确定d1+d2+d4=d5,且d6=d52
当d2=2时，由上式得d5=1+2+7=10,d6=100.但这时d6应该等于2×7=14，矛盾！
当d2=3时，由上式得d5=1+3+7,d6=121这是n已经有了3个不同的质因子：3，7，11。那么d3无论取什么值都不能满足要求，仍然不可能。
④d4=9:
这时显然d2=3,所以d5只能是11和13其中之一。并且d8=(1+3+9)×d5,说明n能被13整除。
如果d5=11,那么肯定d6=13，这样n只能是9×11×13，这时应该d3是9，矛盾
如果d5=13，那么d8=13×d5=169,但是在d5和d8之间至少还应该有3×13，9×13和d3×13三个数是n的约数，这不可能了。
⑤d4=13：
这时1+d2小于13，所以d5肯定不是13的倍数，这样(1+d2+13)×d5必然不是13的倍数，而d12（就是自然数n）是应该是13的倍数，矛盾！
⑥d4=11:
与上面一种情况完全类似地可以推出d10必然不是11的倍数，而d4=11,所以d4×d10还是n的约数，但是n=d3×d10,相互矛盾！
⑦d4=10:
这时前4个约数只能是1，2，5，10， 又1+2+10=13是n的约数，且n至多只能有3个不同的质因子，所以d5=13,这样d9=13×13=169是n的约数，因此n=2×5×132=1690

Answer 3

1690
没必要楼上那么复杂