泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
先来感受一下：src=“https：//picx.zhimg.com/50/v2-bb282201cc04b2a67a357b47eb8b69d1_720w.jpg？source=1940ef5c”data-caption。
data-size=“normal”data-rawwidth=“640”data-rawheight=“252”data-original-token=“v2-bb282201cc04b2a67a357b47eb8b69d1”class=“origin_image zh-lightbox-thumb”width=“640”。
设nnn是一个正整数。如果定义在一个包含aaa的区间上的函数fff在 aaa点处n+1n+1n+1次可导，那么对于这个区间上的任意xxx都有：
f（x）=∑n=0Nf（n）（a）n！（x−a）n+Rn（x）\displaystyle f（x）=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{（n）}（a）}{n！}（x-a）^n+R_n（x）\displaystyle f（x）=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{（n）}（a）}{n！}（x-a）^n+R_n（x）。
其中的多项式称为函数在aaa处的泰勒展开式，Rn（x）R_n（x）R_n（x）是泰勒公式的余项且是（x−a）n（x-a）^n（x-a）^n的高阶无穷小。
维基百科泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果a=0a=0a=0的话，就是麦克劳伦公式，即f（x）=∑n=0Nf（n）（0）n！xn+Rn（x）\displaystyle f（x）=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{（n）}（0）}{n！}x^n+R_n（x）\displaystyle f（x）。
多项式的函数图像特点∑n=0Nf（n）（0）n！xn\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{（n）}（0）}{n！}x^n\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{（n）}（0）}{n！}x^n。展开来就是f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+⋯+f（n）（0）n！xnf（0）+f'（0）x+\frac{f''（0）这些都是常数。
8c82d846d03b32a50c4fb04579ac621d_720w.jpg？source=1940ef5c”data-caption=“”data-size=“normal”data-rawwidth=“640”data-rawheight=“474”data-original-token=“v2-8c82d846d03b32a50c4fb04579ac621d”class=“origin_image zh-lightbox-thumb”width=“640”data-。
src=“https：//pic1.zhimg.com/50/v2-。0b3910e61a1b2499983dfbcdd061dc69_720w.jpg？source=1940ef5c”data-。caption=“”data-size=“normal”data-rawwidth=“640”data-rawheight=“445” src=“https：//pic1.zhimg.com/50/v2-。
a9c0c288bcaf19bbc8735d5d1956f49d_720w.jpg？source=1940ef5c”data-caption=“”data-size=“normal”data-rawwidth=“640”data-rawheight=“341”data-original-token=“v2-a9c0c288bcaf19bbc8735d5d1956f49d”class=“origin_image zh-lightbox-thumb”width=“640”data-。
original=“https：//picx.zhimg.com/v2-a9c0c288bcaf19bbc8735d5d1956f49d_r.jpg？2b580bbda0467050195968fd12df0700_720w.jpg？source=1940ef5c”data-caption=“”data-size=“normal”data-rawwidth=“640”data-rawheight=“316”data-original-token=“v2-2b580bbda0467050195968fd12df0700”。
class=“origin_image zh-lightbox-thumb”width=“640”data-original=“https：//picx.zhimg.com/v2-2b580bbda0467050195968fd12df0700_r.jpg？source=1940ef5c”/>xn\frac{1}{n！}x^n\frac{1}{n！}x^n不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近exe^xe^x。并且nnn越大，起作用的区域距离0越远。
用多项式对sin（x）sin（x）sin（x）进行逼近sin（x）sin（x）sin（x）是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。4.泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系拉格朗日中值定理：如果函数f（x）f（x）f（x）满足，在[a，b][a，b][a，b]上连续，在（a，b）（a，b）（a，b）上可导。
那么至少有一点θ\theta\theta（ a<θ<ba<\theta<ba<\theta<b）使等式f′（θ）=f（a）−f（b）a−bf'（\theta）=\frac{f（a）-f（b）}{a-b}f'（\theta）=\frac{f（a）-f（b）}{a-b}成立。维基百科数学定义的文字描述总是非常严格、拗口。
我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义： src=“https：//pica.zhimg.com/50/v2-96d6b469b0e82d169d80772934cfbe9f_720w.jpg？source=1940ef5c”data-caption=“”data-size=“normal”data-rawwidth=“640”data-rawheight=“474”。
data-original-token=“v2-96d6b469b0e82d169d80772934cfbe9f”class=“origin_image zh-lightbox-thumb”width=“640”data-original=“https：//picx.zhimg.com/v2-96d6b469b0e82d169d80772934cfbe9f_r.jpg？source=1940ef5c”/>这个和泰勒公式有关系。
泰勒公式有个余项Rn（x）R_n（x）R_n（x）我们一直没有提。余项即使用泰勒公式估算的误差，即f（x）−∑n=0Nf（n）（a）n！（x−a）n=Rn（x）\displaystyle f（x）-\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{（n）}（a）}{n！}（x-a）^n=R_n（x）\displaystyle f（x）-\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{（n）}（a）}{n！}（x-a）^n=R_n（x）余项的代数式是。
Rn（x）=f（n+1）（θ）（n+1）！（x−a）（n+1）R_n（x）=\frac{f^{（n+1）}（\theta）}{（n+1）！}（x-a）^{（n+1）}R_n（x）=\frac{f^{（n+1）}（\theta）}{（n+1）！}（x-a）^{（n+1）}，其中a<θ<xa<\theta<xa<\theta<x。
是不是看着有点像了？当N=0N=0N=0的时候，根据泰勒公式有，f（x）=f（a）+f′（θ）（x−a）f（x）=f（a）+f'（\theta）（x-a）f（x）=f（a）+f'（\theta）（x-a），把拉格朗日中值定理中的bbb换成xxx，那么拉格朗日中值定理根本就是N=0N=0N=0时的泰勒公式。
74cfc7b6db4c1bacbf597bd49bd2c482_720w.jpg？source=1940ef5c”data-caption=“”data-size=“normal”data-rawwidth=“640”data-rawheight=“474”data-original-token=“v2-74cfc7b6db4c1bacbf597bd49bd2c482”。
class=“origin_image zh-lightbox-thumb”width=“640”data-original=“https：//pic1.zhimg.com/v2-74cfc7b6db4c1bacbf597bd49bd2c482_r.jpg？source=1940ef5c”/>当N=0N=0N=0的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么N=1，2N=1，2，\cdots N=1，2，\cdots。
这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。
现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中四不四很有道理。
f66b6d94fe09ff389bffbe718b718f72_720w.jpg？source=1940ef5c”data-caption=“”data-size=“normal”data-rawwidth=“640”data-rawheight=“486”data-original-token=“v2-f66b6d94fe09ff389bffbe718b718f72”。
original=“https：//picx.zhimg.com/v2-f66b6d94fe09ff389bffbe718b718f72_r.jpg？source=1940ef5c”/>。把曲线等分为nnn份，分别为a1a_1a_1，a2a_2a_2，\cdots\cdots， ana_na_n，令a1=aa_1=aa_1=a， a2=a+Δxa_2=a+\Delta xa_2=a+\Delta x，⋯\cdots\cdots， an=a+（n−1）Δxa_n=a+（n-1）\Delta xa_n=a+（n-1）\Delta x。
我们可以推出（Δ2\Delta^2\Delta^2，Δ3\Delta^3\Delta^3可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）（x）也就是说，f（x）全部可以由aaa和Δx\Delta x\Delta x决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限Δx→0\Delta x\to0\Delta x\to0，就可以推出泰勒公式。
泰勒公式的用处多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如f（x）=2−3xf（x）=2-3xf（x）=2-3x，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”
这时f（x）f（x）f（x）会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到2−3×4=−102-3\times4=-102-3\times4=-10，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了...”。
但是ln（x）ln（x）ln（x）阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”。
《微积分之倚天宝剑》泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把sin（x）sin（x）sin（x）进行泰勒展开进行计算的。泰勒公式还可以把问题简化，比如计算，limx→0sin（x）x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{sin（x）}{x}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{sin（x）}{x}，代入sin（x）sin（x）sin（x）。
的泰勒展开有：limx→0sin（x）x=limx→0x+o（x3）x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{sin（x）}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x+o（x^3）}{x}=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{sin（x）}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x+o（x^3）}{x}=1。
其中o（x3）o（x^3）o（x^3）是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小，limx→0o（x3）=0\displaystyle\lim_{x\to0}o（x^3）=0\displaystyle\lim_{x\to0}o（x^3）=0。