三点共线的证明思路有斜率法、距离法、向量法、直线方程法。
一、斜率法：
斜率法是证明三点共线的一种常用方法。如果过任意两点的直线斜率都存在，那么可以通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等。假设有三个点A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3）。可以分别计算出AB和BC的斜率，如果这两个斜率相等，那么就可以证明ABC三点共线。
具体来说，设AB的斜率为k1，BC的斜率为k2，则有：k1=（y2-y1）/（x2-x1）；k2=（y3-y2）/（x3-x2）；如果k1=k2，则ABC三点共线。
二、距离法：
距离法也是一种常用的证明三点共线的方法。如果已知三个点的坐标，可以计算出任意两点间的距离，如果某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线。假设有三个点A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），AB的距离为d1，BC的距离为d2，AC的距离为d3。
如果d1=d2+d3，则ABC三点共线。具体来说，根据两点间距离公式，有：d1=sqrt[（x2-x1）²+（y2-y1）²]；d2=sqrt[（x3-x2）²+（y3-y2）²]；d3=sqrt[（x1-x3）²+（y1-y3）²]；如果d1=d2+d3，则ABC三点共线。
三、向量法：
向量法是利用向量共线定理证明三点共线。如果已知三个点的坐标，可以分别计算出三个向量的坐标，如果这三个向量共线，则可以证明这三点共线。假设有三个点A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），分别计算出向量AB和向量BC的坐标。
如果这两个向量共线，则可以证明ABC三点共线。具体来说，设向量AB的坐标为（x2-x1, y2-y1），向量BC的坐标为（x3-x2, y3-y2），如果存在实数λ使得：（x2-x1, y2-y1）=λ×（x3-x2, y3-y2），则ABC三点共线。
四、直线方程法：
直线方程法是通过求出过其中两点的直线方程，在证明第三点也在该直线上来证明三点共线。假设有三个点A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），先求出过A和B两点的直线方程，记为方程1；再求出过B和C两点的直线方程，记为方程2；最后证明C点在方程1上。
具体来说，设过A和B两点的直线方程为：y-y1=（y2-y1）/（x2-x1）×（x-x1），即：y=（y2-y1）/（x2-x1）×x+y1，设过B和C两点的直线方程即：y=（y3-y2）/（x3-x2）×x+y2因为ABC三点共线，所以C点在直线AB上，即C点满足方程1。
因此，将C点的坐标代入方程1中，得到：y3=[（y3-y2）/（x3-x2）]×x1+y1。因此，可以证明ABC三点共线。