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2007年广东省高考数学(文科)试题及详细解答
一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则=
A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1}
【解析】,故,选(C).
2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=
A．-2 B． C. D．2
【解析】,依题意, 选(D).
3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是
A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数
【解析】函数单调递减且为奇函数,选(B).
4．若向量满足,与的夹角为,则
A． B． C. D．2
【解析】,选(B).
5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是
【解析】依题意的关键字眼“以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C).
6.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
【解析】逐一判除,易得答案(D).
7.图l是某县参加2007年高考的学 生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为4，、A：、…、A，。(如A：表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A.i<9 B.i<8 C.i<7 D.i<6
【解析】身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数为,算法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).
8.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
【解析】随机取出2个小球得到的结果数有种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为共3种,故所求答案为(A).
9．已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相分别为
【解析】依题意,结合可得,易得,故选(A).
10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给
A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将
A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,
但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少
的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为
A．18 B．17 C．16 D．15
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同!),的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得,,,,从而,,,故调动件次,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．
【解析】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.
12．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．
【解析】由可得,答案:.
13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项满足5<ak<8，则k=
【解析】{an}等差,易得,解不等式,可得
14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为 ．
【解析】法1:画出极坐标系易得答案2; 法2:化成直角方程及直角坐标可得答案2.
15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC= ．
【解析】由某定理可知,又,
故.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.
16．(本小题满分14分)
已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．
(1)若,求c的值； (2)若C=5，求sin∠A的值．
【解析】(1)…………………………………………………………4分
由可得………………6分, 解得………………8分
(2)当时,可得, ΔABC为等腰三角形………………………10分
过作交于,可求得……12分 故……14分
(其它方法如①利用数量积求出进而求;②余弦定理正弦定理等!)
17．(本小题满分12分)
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该儿何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. …………………3分
(2)……………7分 (3)………12分
18(本小题满分12分)
F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生
产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值：32．5+43+54+64．5=66.5)
【解析】(1)画出散点图. …………………………………………………………………………3分
(2), , , …………………………………7分
由所提供的公式可得,故所求线性回归方程为………10分
(3)吨. ………………………………………………………12分
19(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0．椭圆与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设圆的方程为………………………2分
依题意,,…………5分
解得,故所求圆的方程为……………………7分
(注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!)
(2)由椭圆的第一定义可得,故椭圆方程为,焦点……9分
设,依题意, …………………11分
解得或(舍去) ……………………13分 存在……14分
20．(本小题满分14分)
已知函数,是力程以的两个根(α>β),是的导数,设 (1)求的值；(2)已知对任意的正整数有,记,求数列的前项和.
【解析】(1)求根公式得, …………3分
(2)………4分 ………5分 ……7分
……10分
∴数列是首项,公比为2的等比数列………11分
∴………………………………………………………14分21．(本小题满分l4分)
已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围.
【解析】若,则,令,不符题意, 故………2分
当在 [-1,1]上有一个零点时,此时或………6分
解得或 …………………………………………………………………8分
当在[-1,1]上有两个零点时,则………………………………10分
解得即………………12分
综上,实数的取值范围为. ……………………………………14分
(别解:,题意转化为知求的值域,令得转化为勾函数问题.)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是
A.AB????? B.BC C.A∩B=C D.B∪C=A
【解析】送分题呀!答案为D.
2.已知0＜a＜2，复数(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是
A.(1,) B. (1,) C.(1,3) D.(1,5)
【解析】，而，即，,选B.
3.已知平面向量，，且//，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】排除法:横坐标为,选B.
4.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A、2 B、3 C、6 D、7
【解析】,选B.
5.已知函数，则是（ ）
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
【解析】,选D.
6.经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求
的直线的方程为,选C.(或由图形快速排
除得正确答案.)
7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分
别是三边的中点）得到的几何体如图2，则
该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为
【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
8. 命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是（ ）
A、若，则函数在其定义域内不是减函数
B、若，则函数在其定义域内不是减函数
C、若，则函数在其定义域内是减函数
D、若，则函数在其定义域内是减函数
【解析】考查逆否命题,易得答案A.
9、设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.
10、设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11-13题）
11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，
由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是 .
【解析】,故答案为13.
12.若变量x，y满足则z=3x+2y的最大 值是________。
【解析】画出可行域,利用角点法可得答案70.
13.阅读图4的程序框图，若输入m=4,n=3,则输出a=_______,i=________。
（注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”）
【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，
而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍
数12，即此时有。
（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线 交点的极坐标为
【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为.
15.（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.
【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分13分）
已知函数的最大值是1，其图像经过点。
（1）求的解析式；（2）已知，且求的值。
【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；
（2）依题意有，而，，
。
17.（本小题满分12分）
某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则
, 令 得
当 时， ；当 时，
因此 当时，f（x）取最小值；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
18.（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。
（1）求线段PD的长；
（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。
【解析】（1） BD是圆的直径 又 ,
, ;
(2 ) 在中，
又
底面ABCD
三棱锥的体积为 .
19.（本小题满分13分）
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
求x的值；
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
【解析】（1）
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为： 名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个
事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
20.（本小题满分14分）
设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
【解析】（1）由得，
当得，G点的坐标为，，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
21.（本小题满分14分）
设数列满足，， 。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和。
【解析】（1）由得
又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列，
，
由 得 ，由 得 ，…
同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此
（2）
当n为奇数时，
当n为偶数时
令 ……①
①×得: ……②
①-②得:
因此
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)
数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛｝关系的韦恩（Venn）图是
2．下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位)的是
A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5
3．已知平面向量a =(x，1)，b =(—x，x2 )，则向量a+b
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
4．若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．
5．已知等比数列的公比为正数，且，，则
A． B． C． D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7．已知中，的对边分别为。若，且 ，则
A．2 B． C． D．
8．函数的单调递增区间是
A． B．（0，3） C．（1，4） D．
9．函数是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
10．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是
A．20.6 B．21 C．22 D．23
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，(一)必做题(11~13题)
11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填
，输出的= 。
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”)
12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号，，196~200号)。若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。
13．以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程是_______________________。
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________。
15．(几何证明选讲选做题)如图3，点A，B，C是圆上的点，且，，则圆的面积等于__________________。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知向量与互相垂直，其中.
求和的值；
若，求的值。
17．（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线平面.
18．（本小题满分13分）
随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。
19．（本小题满分14分）
已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12。圆：的圆心为点。
（1）求椭圆G的方程；
（2）求面积；
（3）问是否存在圆包围椭圆G？请说明理由。
20．（本小题满分14分）
已知点是函数的图像上一点。等比数列的前n项和为。数列的首项为c，且前n项和满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列的前项和为，问满足＞的最小正整数是多少？
21．（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。设函数。
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科） 参考答案
选择题
BCCAB DADAB
1、【解析】由N= { x |x+x=0}得,选B.
2、【解析】因为,故选C.
3、【解析】,由及向量的性质可知,C正确.
4、【解析】函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
5、【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B
6、【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D
7、【解析】
由a=c=可知,,所以,
由正弦定理得,故选A
8、【解析】,令,解得,故选D
9、【解析】因为为奇函数,,所以选A.
10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:
①,②,③,④,⑤,⑥,
其中, 路线③的距离最短, 最短路线距离等于,
故选B.
填空题
11、【答案】,
【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填，输出的s=.
12、【答案】37, 20
【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.
13、【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为
14、【答案】
【解析】将化为普通方程为,斜率,
当时,直线的斜率,由得;
当时,直线与直线不垂直.
综上可知,.
15、【答案】
【解析】连结AO,OB,因为 ,所以,为等边三角形,故圆O的半径,圆O的面积.
解答题
16、【解析】（1）,,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴
17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（2）该安全标识墩的体积为：
（3）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；
18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）
（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
；
19、【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：.
(2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
20、【解析】（1）,
,,
.
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；
()；
（2）
；
由得，满足的最小正整数为112.
21、【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点
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