一道高三文科数学题。直线与圆。

Question

已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程。 若不存在，说明理由。

请写明过程，谢谢。

Answer 1

准确思路 不做计算
(x-1)^2+(y+2)^2=3^2 (1,-2) r=3 ; y=x+b 代入圆的方程 (一元二次方程会解吧？) 解出x ，诺能判断 则 ①无解 ==》直线和圆不接触 ②相同解 ==》 直线和圆相切 ；这两种都不存在 ③两个不同解 ==》直线和圆相交 得两交点（x1,x1+b）(x2,x2+b) (交点中x1,x2都已解得，就b一个未知数) 圆心就是两交点的中点 [(x1+x2)/2, (x1+x2)/2+b]
列方程 两交点中任意一点到中点的距离 = 中点到原点的距离
解得 b 有解 就存在 无解就不存在 ； 有两个不同解的话 要验证下

Answer 2

设直线为y=x+b, 设交点为A（X1，Y1），B （X2，Y2），X1*x2+Y1*Y2=0,代入圆，再用点差法。求 b，就是这样的思路。