分段函数中对分界点的导数求法的理解

Question

已求得各分区间的导函数表达式，但是看到复习全书上对分界点导数的求法有一种是在分界点对各分区间上的导函数求极限得到左右导数相等，从而得到在该点可导。请问这种求法怎么理解，就是说求开区间两端的单侧导数是在函数连续的条件下求导函数极限得到的，而不是用定义得到的。而按导数的定义，导数本身就是极限，对导函数再求极限得到单侧导数，这一点不理解，求高人指教，谢谢！！！
谢谢楼下，我知道按导数定义左右极限存在且相等导数才存在，我的意思是说，只求单侧导数的方法，书上有单侧导数的定义求法，还有就是我上面说的，先求出开区间内的导函数表达式f'(x)，比如说函数f(x)对区间（a，b）端点a+或者b-处求他们的导数f'(a+)是利用该区间内的导函数表达式f'(x)在x趋于a+或者b-时取极限得到的（前提是极限存在的情况下，不存在也就说明在该侧处不可导），即lim(x->a+) f'(x) 来得到单侧导数，这种方法怎么理解，为什么求得导函数f'(x)的在端点处极限就是该侧导数？理论支撑点是什么

Answer 1

极限存在导数才存在。左极限与右极限相等才能用求导法则求该点导数。求左极限和右极限的时候自变量的变化趋势不一样极限可能不等

Answer 2

函数在一点处导数存在的充要条件是左右导数存在且相等。
在数学上，定义以外规定的情况确实有，例如 直线的倾斜角，按照定义是0<α<π， 特殊规定当直线与x轴平行或重合时倾斜角为0；还有0的阶乘为1等等。
在开区间两端只有单侧极限，不能按定义推导了。追问

请问单侧导数在导函数连续的条件下求极限得到，这个怎么理解，谢谢，或者说，在函数连续的条件下，对导函数求极限得到分界点处的导数，理论是什么，怎么解释才好接受这种做法

Answer 3

首先，一个函数的导数也是函数，对导函数求极限没有什么奇怪的。相信复习全书时，你们已经学习过拉格朗日公式了，该公式建立了函数改变量与导函数之间的关系，是利用导数研究函数的桥梁。
如果函数f(x)在[x0,x0+h] (h>0)上连续，在(x0,x0+h)内可导，则拉格朗日公式可写作：
[f(x0+△x)-f(x0)]/△x=f'(x0+θ△x) (0<θ<1) ①
如果导函数在x0处右极限lim(x→x0+0)f'(x)=k，注意到 (x→x0+0) 与(△x=x-x0→0+0)是等价的，所以当△x→0+0时，x0+θ△x→x0，从而①式右端f'(x0+θ△x)→k，故①式左端也成立：
lim(x→x0+0)[f(x0+△x)-f(x0)]/△x=k
就是说f(x)在x0处的右导数等于k。
如果又证明了f(x)在x0处的左导数也等于k，那么f(x)在x0的双侧导数也就等于k了。本回答被提问者采纳