一、 内容提要
（一） 加法、乘法原理，排列与组合
1. 加法原理： 设完成一件事有n类方法（只要选择其中一类方法即可完成这件事），若第一类方法有m1种，第二类方法有m2种，……，第n类方法有mn种，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn
2．乘法原理： 设完成一件事须有n个步骤（仅当n个步骤都完成，才能完成这件事），若第一步有m1种，第二类方法有m2种，…，第n步有mn种方法，则完成这件事共有N= m1×m2×…×mn种方法。
注意：加法原理与乘法原理的区别：前者完成一步即完成一件事；后者须n步均完成才完成一件事。
3．排列 从n个不同元素中任取m（m≤n）个按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素取出m个元素的所有排列种数，记为
Pmn=n(n-1) …[n-(m-1)]=
从n个不同元素中全部取出的排列称为全排列，其排列的种数，记为Pn=n(n-1) …1=n!,规定0！=1.
4．允许重复的排列： 从n个不同元素中有放回地取m个按照一定顺序排列成一列。其排列的种数为 N==nm
5．不全相异元素的全排列： 若n个元素中，有m类（1<m≤n）本质不同的元素，而每类元素中分别有k1,k2, …km个元素（k1+k2+…+km=n,1<ki<n,i=1,2, …m），则n个元素全部取出的排列称为不全相异元素的一个全排列。其排列的种数为 N=
6．组合 从n个不同元素中取出m个元素，不管其顺序并成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，其组合总数，记为.
组合的性质：（1）= （2）=
注意：排列与组合的区别：前者与次序有关，后者与次序无关。
（二） 随机试验和随机事件
1．随机试验（记为E）,若试验（观察或实验过程）满足条件：
（1） 试验可在相同条件下重复进行；
（2） 试验的结果具有多种可能性；
（3） 试验前不能确切知道会出现何种结果，只知道所有可能出现的结果，
则该试验称为随机试验。
2．随机事件: 随机试验E的一个结果，简称事件，用大写字母A，B，C，D表示。
3．基本事件（样本点）: 随机试验E的每一个不可再分解的结果,用ω表示.
4．样本空间: 随机试验E的所有基本事件组成的集合，记为Ω=Ω（ω）
5．必然事件: 在一定条件下，每次试验中一定要发生的事件，记为U。
6．不可能事件: 在一定条件下，每次试验中一定不发生的事件，记为φ
（三） 事件的关系及其运算
1．事件的包含: 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含A（或A包含于B），记为B属于A。
2．事件相等: 若A属于B且B属于A，则称事件A与B相等，记为A=B。
3．事件A与B之和:（并）A∪B（或A+B）△事件A与B至少有一个发生。
推广：A1∪A2∪…∪Ak∪…∪An=Ak△n个事件A1，A2，…An至少一个发生。
A1∪A2∪…∪Ak∪…=Ak△A1，A2，…Ak…至少一个发生。
性质： （1）A属于A∪B；B属于A∪B
（2）A∩（A∪B）=A； B∩（A∪B）=B
（3）A∪A=A
4．事件A与B的差(A-B): 事件A发生而B不发生。
性质：（1）A-B属于A
（2）（A-B）∪A=A； （A-B）∪B=A∪B
（3）（A-B）A=A-B； （A-B）∩B=φ
5．事件A与B的积A∩B（或AB）: 事件A与B同时发生。
推广：A1∩A2∩…∩An=Ak △n个事件A1，A2，…An同时发生。
A1∩A2∩…∩Ak∩…=Ak △无穷个事件A1，A2，…Ak…同时发生。
性质：（1）A∩B属于A； A∩B属于B
（2）（A∩B）∪A=A； （A∩B）∪B=B
（3）A∩A=A
6．互斥事件: 在试验中，若事件A与B 不能同时发生，即A∩B=φ，则称A、B为互斥事件。
推广：在试验中，若事件组A1，A2，…An任意两个都是互斥的，则该事件组称为互斥事件组。
注意： （1）在一次试验中，基本事件都是两两互斥的。
（2）若A、B互斥，则 A∪B=A+B。
7．对立事件: 每次试验中，“事件A不发生”的事件称为事件A的对立事件。A的对立事件记为。
注意：由定义可知，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
8．事件的运算律 （与集合的运算律相似）
（1）交换律： A∪B=B∪A ； AB=BA
（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
（3）分配律：（A∪B）C=（AC）∪(BC)；A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)
注意：（1）事件的运算律非常重要，务必娴熟，这是因为在今后的概率计算中，经常将一些事件用另一些事件的运算来表示。
（2） 常用文氏图帮助分析和理解事件的运算，尤其是两个事件的运算更是如此。
（五） 概率的乘法公式，全概公式，贝叶斯公式
1．概率的乘法公式
条件概率： 在事件B已经发生的条件下，计算事件A的概率，则这种概率称为事件A在事件B已发生的条件下的条件概率，记作P（A|B），有如下计算公式：
P（A|B）=P(A交B)/P(B)
乘法定理： 两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现之下的条件概率的乘积，即P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）
独立事件： 如果两事件中任一事件的发生不影响另一事件的概率，则称这两事件是相互独立的，即 P（B|A）=P（B）或P（A|B）=P（A），则A与B独立。
也可这样定义： 如果两事件A、B的积事件的概率等于这两事件的概率的乘积，则称两事件A与B是相互独立的，即 P（AB）=P（A）P（B）则A与B独立。
（2）四对事件A，B； ，B；A，；，之中有一对相互独立，则另外三对也相互独立。
（3）独立与互斥（不相容）的区别：两事件A，B相互独立是指事件A出现的概率与事件B是否出现没有关系，并不是说事件A，B之间没有关系。相反若A，B独立，则常有AB≠φ,即A与B非互斥（相容）。A，B互斥（不相容）是指事件A的出现必导致B的不出现，并没有说事件A出现的概率与事件B是否出现有关系。事实上，若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），又P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），于是P（AB）=0，而当P（A）>0,P(B)>0时，P（A）P（B）>0。可知P（AB）≠P（A）P（B），这就是说一般情况下，两个事件互斥并不能得出这两个事件就独立的结论。
2．全概率公式
如果事件组B1，B2，…，Bn满足
（1）B1，B2，…，Bn互斥，且P（Bi）>0(i=1,2, …，n)
（2）B1+B2+…+Bn=U
则对任一事件A皆有 P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P(A|Bn), 满足条件（1），（2）的事件组B1，B2，…，Bn称为完备事件组，也称某随机试验E的样本空间。
用全概率公式求解的概率问题关键在于寻找完备事件组（样本空间）。
3．贝叶斯公式
设B1，B2，…，Bn为一完备事件组，则对任一事件A（P（A）≠0）有
P（Bj|A）=
注意：公式右边可这样记忆：分母为全概公式，是n项之和，分子是分母中的某一项。
（六） 独立试验序列概型
定理（贝努里公式） 设在单次试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1)，则在n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率
P（“A发生k次”）=Cknpkqn-k （q=1-p） 其中k=0,1,2,…，n.
下列各事件：在n次试验中
(a) 事件A发生的次数不到k次
(b) A发生多于k次
(c) 事件A发生不少于k次
(d) 事件A发生不多于k次
它们概率分别为
(a) P（A发生不到k次）=P（0）+P（1）+…+P（k-1）
(b) P（A发生多于k次）=P（k+1）+P(k+2)+…+P(n)
(c) P(A发生不少于k次)= P(k)+P（k+1）+…+P(n)
(d) P(A发生不多于k次)= P（0）+P（1）+…+P（k）
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基本要求与重点
1. 基本要求
1) 了解随机变量的概念，掌握事件间的关系与运算．
2) 了解事件频率的稳定性和理解概率的含义，掌握概率的基本性质和加法定理，会计算简单的古典概率．
3) 理解条件概率的概念和事件独立性概念，掌握乘法定理，会利用全概率公式和贝叶斯公式．
4) 掌握贝努利概型和二项概率的计算方法．
2. 重点与难点
重点 掌握概率古典定义和适用范围．
难点 如何用已知事件表达其它事件．正确判断试验的概型．
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释疑解难
1．对立事件与互斥事件有何联系与区别？
答 它们的联系与区别是：
（1） 两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立．
（2） 互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
（3） 两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生，而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生．
2．如何用已知事件表达有关的其它事件？
答 首先要熟练掌握事件间的关系与运算，以及事件的运算律；其次还必须对具体问题进行具体分析．下面举例予以说明：
例1（1）“发生，而与都不发生”可表为或；
（2）“中恰有一个发生”可表为；
（3）“中恰有两个发生”可表为或；
（4）“中不多于一个发生”可表为或．
上面的表示法是根据事件的关系与运算，以及事件的运算律得到的．比如(1)，单个看，是发生，不发生，也不发生，所以就是；把“都不发生”一起看，它的逆事件是“中至少一个发生”，即，于是“都不发生”就是，所以结果可以写成．
例2 三只考签由三个考生轮流有放回抽取一次，每次取一只．试用已知事件表示“至少有一只考签没有被抽到”这一事件．
设表示“第i只考签被抽到”，则“至少有一只考签没有被抽到”可表为
或．
3．条件概率是不是概率？它与无条件概率有何区别？
答 条件概率是一种概率，可以验证，它满足概率定义中的三个条件．具体说，是在原条件组的基础上又加上”发生”这个条件时，B发生的概率．它与无条件概率（普通概率）的区别，就在于后者发生的条件，还是原来的条件组．这里所谓“无条件”是指“无新条件”，原来的条件组并非可无．
4．条件概率与积事件的概率有何区别？
答 表示在样本空间中，计算发生的概率，而表示在缩减的样本空间中，计算发生的概率．
用古典概率公式，则＝AB中基本事件数/中基本事件数；中基本事件数/中基本事件数．一般说，比大．初学者在计算条件概率问题时，有时比较容易将积事件概率与条件概率混淆，这时需弄清：条件概率一定是在某事件已经发生的条件下该事件发生的概率．
5．两事件互相独立与两事件互斥这两个概念有何联系？
答 没有必然的联系．我们说两个事件A，B相互独立，其实质是事件A发生与否不影响事件B发生的概率．而说A，B互斥，则是指A的发生必然导致B不发生，或者B的发生必然导致A不发生，即．这就是说事件A的发生对事件B发生的概率有影响．
现在从直观上予以解释，图1-1与图2-2都是边长为1的正方形．由图1-1知，P(A)=1/2，P(B)=1/2，P(AB)=1/4．因此A，B相互独立，但A，B不互斥．由图1-2知，P(A)=1/2，P(B)=1/2，AB=，P(AB)P(A)P(B)．因此A，B互斥，但A，B不是互相独立的．
那种认为“两事件互相独立必定互斥”是错误的．在P(A)>0，P(B)>0的条件下，若A，B互斥，则P(AB)＝P(A)P(B)>0，而若A，B互斥，则P(AB)＝0，两种概念出现矛盾．
6．“n个事件相互独立”与“n个事件两两独立”是否一回事？
答 不是的．后者只是前者的条件之一，由前者可以推出后者，但反过来不行．
7．如何使用全概率公式和贝叶斯公式？
答 全概率公式是应用广泛的一个公式，它把事件的概率（不太好求）分成几个比较好计算的概率之和，形似繁琐，实则简单．在分析问题过程中，可视为的子事件，或者把看成发生的原因，是结果．而及较易求得的，于是可由”原因”求”结果”．
贝叶斯公式有时称为验后概率公式，它实际上是条件概率．是在已知结果发生的情况下，求导致结果的某种原因的可能性大小．比如求，当（常用全概公式计算），，较易求得时，就要用贝叶斯公式，它是由“结果”求“原因”．
8．在全概率公式与贝叶斯公式中， 是样本空间的一个划分．问中的每一个是否是引起事件发生的“原因”？
答 不一定，我们仅以全概率公式为例给予说明，从图1-3可见，是的一个划分，事件是伴随事件这几个“原因”（假设）出现的；而和都与不相交，即不能与同时出现，亦即和都是不可能事件，故都等于零．所以全概率公式中的和这两项实际上消失了．我们实际上只把这4个事件当作的“原因”．因此全概率公式中 “是的一个划分”这一条件可以降低：“两两互斥事件组能够盖住”．再降低一点：“是的一个划分”，即当且仅当中某一事件出现时才出现．不过为了讨论方便，我们通常还是找出的一个划分，还是把每个都称作“原因”（或假设），这个没有什么关系．
9．后验概率与先验概率有何区别?
答 贝叶斯公式中，已知事件的概率称为“先验概率”它是试验前根据以往经验确定的一种假设概率．现在进行了一次试验，如果事件确实发生了，则对于事件的概率应予以重新估计，也就是在事件发生之后，再来判断事件发生的概率，称之为“后验概率”．
由于后验概率的计算仍以先验概率为基础，所以两者有一定的联系（一般比较接近）．但后验概率是在实验之后事件确已发生的情况下，来分析它各种原因的概率，因而一般来讲，有利于发生的那些原因的概率就会增大，而不利于发生的那些原因的概率就会减小．
10．实际应用中，如何判断两事件的独立性？
答 实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是由试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性．或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断．例如，在放回摸球（袋中有白球和黑球）试验中，表示“第一次摸得白球”，表示“第二次摸得白球”．由于只与第一次试验有关，只与第二次试验有关，可知与独立．而在不放回摸球试验中，它们却不独立．又如甲、乙两名射手在相同条件下进行射击，则“甲击中目标”与“乙击中目标”两事件是独立的．
如果对实际问题中的事件还难以判断它们是否独立，则需要利用统计资料进行分析，再来判断是否符合事件独立性的条件．
11．什么是实际推断原理？它有什么作用？为什么说在大量的独立重复试验中，小概率事件迟早会发生？
答 概率很小的事件称小概率事件．在实践中，人们总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上是不会发生的”这一经验，并称之为“实际推断原理”．根据实际推断原理，如果小概率事件在一次实验中竟然发生了，我们就有理由怀疑该事件是小概率事件的正确性．
设事件的概率为（小概率，），在独立重复试验中，为第k次试验中发生，则．在前次试验中，至少发生一次的概率为：
当时 ．这就说明，随着试验次数的增多，小概率事件迟早会发生的概率为1。
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典型例题分析
例1.1 在1，2，…，9这9个数字中，有放回地随机抽出n个数，求这n个数乘积能被10除尽的概率。
解：从1，2，…，9中有放回地随机抽出n个数，共有9n种抽法，其中不含5的抽法有8n种，不含偶数的抽法有5n种，不含5和偶数的抽法有4n种。所以不含5或偶数的抽法有8n+5n-4n种，从而得知含5和偶数的抽法有9n-8n-5n+4n种。易知这些抽法就是使A=发生的全部样本点，故
P（A）==1-.
例1.2 某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？
解：设A=，B=。显然， BA，故该问题属于条件概率P（B|A）.
因为P（A）=0.8，P（B）=0.4，又BA，AB=B，故P（AB）=P（B）=0.4，
从而 P（B|A）=
例1.3 从1~100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率。
解法I 设A=，B=，C=，
则P（A）=，由条件概率定义，得
P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）-P（BC|A）
=
=2
解法II 把B，C看作缩减样本空间 Ω4=中的事件，则所求概率为
P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）-P（BC|A）=
例1.4 袋中10个球，8红2白，现从袋中任取两次，每次取一球作不放回抽样，求下列事件的概率。
1） 两次都取得红球；
2） 两次中一次取得红球，另一次取得白球；
3） 至少有一次取得白球；
4） 第2次都取得白球。
分析 注意到抽样方式是不放回的，因此第2次取球的有关概率依赖于第一次取球的结果，故本题可用条件概率来计算。
解 设Ai表示“第i次取出的是红球”的事件，Bi表示“第i次取出的是白球”的事件，i=1,2。
1) P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=
2) P（A1B2∪A2B1）=P（A1B2）+P（A2B1）=
3）注意到“至少有一次取得白球”=“两次中一次取得红球，另一次取得白球”∪“两次都取得白球”。因此，只要将2）中算得的概率再加上“两次都取得白球”的概率，即
P（B1B2）=P（B1）P（B2|B1）=
而“至少有一次取得白球”的概率 P=
注：本小题也可用对立事件的概率法则求解。因为“至少有一次取得白球”的对立事件是“没有一次取得白球”，即“两次都取得红球”。
由1）的结果得 P=1-P（A1A2）=1-
4) P（A1B2∪B1B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）
=
例1.5 乒乓球盒中有12个球，其中8个是没有用过的新球。第一次比赛时从其中任取3个使用，用后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3个，求这3个球都是新球的概率。
分析 事件“第二次比赛时取出的球都是新球”是第一次取用3个球后发生的。而第一次比赛可能“用了0个新球”、“用了1个新球”、“用了2个新球”、“用了3个新球”，分别用B0，B1，B2，B3表示。且B0∪B1∪B2∪B3=Ω，BiBj=φ（i≠j），i，j=0，1，2，3。因此，它可用加法公式与乘法公式计算，也可用全概率公式计算。
解法I 设事件A=，
事件Bi（i=0,1,2,3）表示“第一次比赛用了i个新球”，
则 B0∪B1∪B2∪B3=Ω， BiBj=φ. (i, j=1,2,3.)
A=A(B0∪B1∪B2∪B3)=AB0∪AB1∪AB2∪AB3 ， 且ABi∩ABj=φ，
故 P（A）=P(AB0)+P(AB1)+P(AB2)+P(AB3).
又 P（AB0）=P（B0）P（A|B0）= .
同理有
P（AB1）=， P（AB2）=， P（AB3）=，
所以 P（A）=
=≈0.0972.
解法II A , Bi（i=0,1,2,3） 如解法I.
则 P（Bi）=， P(A|Bi)=.
由全概率公式有
P（A）A= =.
例1.6 甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出的概率分别为，试求：
1） 恰有一人译出的概率；
2） 密码能破译的概率。
分析 设Ai（i=1,2,3）分别表示甲、乙、丙三人能译出的事件，故，A1∪A2∪A3=。
因为三人各自破译，故A1，A2，A3相互独立，所以利用独立性可解该题。
解 1） 设Ai（i=1,2,3）分别表示甲、乙、丙三人能破译的事件，
由题设A1，A2，A3 相互独立。令A=
则 。
易知，事件两两互不相容，故
P（A）=P（）
=
而 P= P（A1）[1-P（A2）][1-P（A3）]
=.
同理有 P（）=[1-P（A1）]P（A2）[1-P（A3）]=，
P（）=[1-P（A1）][1-P（A2）]P（A3）=
因此 P（A）=
2) 设B=，则B=A1∪A2∪A3. 注意到A1，A2，A3相互独立，
故有 P（A1∪A2∪A3）=1- P()P()P()
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
=1-.
例1.7 三战士射击敌机，一射驾驶员，一射油箱，一射发动机主要部件，命中的概率分别为1/3,1/2,1/2各人射击是独立的。任一人射中，敌机即被击落，求击落敌机的概率。
解法I 设A，B，C分别表示三名战士在射击中命中目标这三件事，
则A，B，C是独立的。然而是相容的（可能有两人都命中或三人同时命中）。
敌机被击落可表示为A∪B∪C，故
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
=
解法II 依题意，有 P(A∪B∪C)=1-P(
=1-P()P()P()=1-[1-P（A）][1-P（B）][1-P（C）]
=1-（1-）（1-）（1-）=
例1.8 在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。
解 如图建立坐标yox, 设线段被分成的三段长分别为x,y和a-x-y，
则 基本事件集为由0<x<a,0<y<a及0<x+y<a所构成图形的面积S△AOB=1/2a2,
有利于事件A（即x,y，a-x-y三段构成三角形）的基本事件集：
由线段x,y，a-x-y所围成的三角形面积S△DCE。
由三角形两边之和大于第三边的性质，
有 0<x< 0<y< 0<a-x-y<
故有0<x< 0<y<0<x+y<a（它们构成三角形DCE），
则其面积S△DCE=
故 P（A）=
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