证明不等式

Question

证明不等式:

Answer 1

方法1,
构造函数利用单调性证明。
记f(x)=ln(1+x)-x,x>0
f'(x)=-x/(1+x)<0,f(x)在x>0上単减，又f(x)可在x=0连续，则f(x)<f(0)=0
ln(1+x)-x<0,即ln(1+x)<x,x>0
取1/t(>0)替换x,有ln[1+(1/t)]<1/t,.......(1)
记g(x)=ln(1+x)-x/(x+1),x>0
g'(x)=x/(x+1)^2>0,g(x)在x>0上单增，又g(x)可在x=0连续，则g(x)>g(0)=0,即ln(1+x)>x/(x+1)
取1/t(>0)替换x,有ln[1+(1/t)]>(1/t)/[(1/t)+1],整理即ln[1+(1/t)]>1/(1+t),......(2)
综合 （1）（2）有1/(1+t)<ln[1+(1/t)]<1/t,(t>0),命题得证。

方法2
中值定理证明
因为ln[(t+1)/t]=∫[t,t+1]1/xdx=(1/xo)[(t+1)-t]=1/xo,其中t<xo<t+1，
那么1/(t+1)<1/xo<1/t
则有1/(t+1)<ln[(t+1)/t]<1/t,命题得证。