内点、外点、聚点、边界点、孤立点之间的区别和关系

Question

详细说明！~

Answer 1

设有点集E

区别：
内点、孤立点必属于E，外点必不属于E，边界点、聚点可属于E可不属于E。

内点：①属于E②存在一个邻域全含于E
外点：①不属于E②存在一个邻域全含于E的补集，即存在一个邻域∩E=∅
边界点：全部邻域同时有属于E、不属于E的点
聚点：全部邻域都有E的无穷多点
孤立点：①属于E②不是聚点，即存在一个邻域∩E={该点}

关系：
内点一定是聚点，聚点可能是内点可能是边界点
孤立点一定是边界点，边界点可能是孤立点可能是聚点

Answer 2

总体回答很通俗易懂，简洁明了，但内，外点的定义有点小问题。
就内点来说，原作者说“该点属于E，且存在一个邻域全部含于E”。那么，如果这个邻域定义时r=0，即该点的邻域只包含该点本身，那么这个点是一个边界点。所以，应该修改为“(1)z∈E,(2)?r>0,?{Z:|Z-z|<r}有z∈E”
有问题的话，欢迎指正！