函数的极值点如何求？

Question

如题所述

Answer 1

要求函数的极值点，可以通过以下步骤进行：

1. 首先，找出函数的导数。使用求导法则（如常数规则、幂规则、链式法则等）计算函数的导数。

2. 将导数设置为零，解方程找到导数为零的点。这些点被称为驻点，它们可能是函数的极值点。

3. 对于每个驻点，可以使用二阶导数测试来判断其是否是极值点。计算驻点处的二阶导数值，并根据以下规则进行判断：
- 如果二阶导数值大于零，则驻点是一个局部极小值点。
- 如果二阶导数值小于零，则驻点是一个局部极大值点。
- 如果二阶导数值等于零，则无法确定驻点的性质，需要使用其他方法或条件进行判断。

4. 如果需要找到全局极值点，还需要考虑函数的定义域和边界条件。在定义域的边界上计算函数值，并将其与驻点的函数值进行比较，找到最大和最小的函数值。

需要注意的是，这种方法只适用于可导函数。对于不可导的函数，需要使用其他方法进行求解，如区间划分法、图像分析法等。

此外，对于多元函数的极值点，可以使用类似的方法，求取偏导数、解方程以及二阶偏导数测试来判断极值点。

Answer 2

首先，我们可以将方程化简为：
2x' + 2y + 7z + 8 = 0
然后，我们可以通过对方程进行求偏导数来找到极值点。
对于函数 z(x, y)，我们需要求解以下方程组：
∂z/∂x = 2x' = 0 (1)
∂z/∂y = 2y = 0 (2)
∂z/∂z = 7z + 8 = 0 (3)
从方程 (1) 和 (2) 中可以得出 x' = 0 和 y = 0，这意味着 x 和 y 不影响 z 的值。
将方程 (3) 解出 z 的值：
7z + 8 = 0
z = -8/7
因此，函数 z(x, y) 的极值点为 z = -8/7，是一个极小值点。
请注意，由于方程中没有给出更多的条件或限制，我们只能根据给定的方程进行求解。