驻波：神奇的干涉现象揭示
当两列相干波，其振幅相同且传播方向相反，相互叠加时，神奇的驻波现象就此诞生。这种干涉现象展现了波的神秘魅力，其背后的数学规则由驻波方程揭示。
驻波方程的奥秘
让我们深入理解驻波的构成。当两列波叠加时，我们可以通过数学表达式来描述:
两列波的干涉
对于波函数 \(y_1\) 和 \(y_2\)，它们的叠加结果为:
y(x) = y_1(x) + y_2(x) = A\cos(kx - \omega t) + A\cos(kx + \omega t)
在这里，\(A\) 代表振幅，\(k\) 是波数，\(\omega\) 是角频率，\(x\) 是位置，\(t\) 是时间。\(k\) 和 \(\omega\) 的组合决定了波腹（\(y(x) = 2A\)）和波节（\(y(x) = 0\)）的位置。当 \(kx - \omega t\) 和 \(kx + \omega t\) 相差半个波长的整数倍时，波形呈现出稳定的驻波模式。
半波损失与驻波形成
当波遇到固定端或波节时，反射波与入射波的相位差形成半个波长，导致能量损失，这被称为半波损失。这在绳子上形成驻波时尤为重要，比如一列正弦波从波疏介质入射到波密介质，会在反射点产生显著的变化。
合成驻波与谐频
一段绳子的基频和谐频现象，当波长等于绳长 \(L\) 时，形成一个完整的波长，此时 \(n=1\)，即基频。而 \(n>1\) 的情况，意味着波长是绳长的 \(n\) 倍，被称为 \(n\) 次谐频。
多普勒效应：频率的舞蹈
多普勒效应，如同一场频率的交响乐，由波源和探测器之间的相对运动主导。当波源移动时，\(f'\) 接收频率与 \(f\) 发射频率的关系如下:
波源移动
f' = f \cdot \left( \frac{v + v_{\text{波源}}}{v + v_{\text{观察者}}}\right)（远离，\(v_{\text{波源}}>0\)；靠近，\(v_{\text{波源}}<0\)）
接收者移动时，频率变化的表达式类似，但 \(v\) 和 \(v_{\text{波源}}\) 互换。
应用：宇宙的红移信号
多普勒效应在宇宙学中尤为显著，如星体红移现象，就是当观测到的光谱向红色端移动，揭示了星体正远离我们而去的事实。