比较R3中切线曲面M上曲率线的曲率与曲面的主曲率．

Question

A.

Answer 1

【答案】：×
曲线a(u)的切线曲面M(u为a(u)的弧长)：x(u,v)=a(u)+va'(u)=a(u)+vV1(u)．计算得xu'=a'(u)+va''(u)=V1(u)+vk(u)V2(u),xu'=a'(u)=V1(u)．E=xu'.xu'=(V1+vxV2).(V1+vxV2)=1+v2k2,F=xu'.xv'=(V1+vkV2).V1=V1.V1=1,G=xv'.xv'=V1.V1=1．I=Edu2+2Fdudv+Gdv2=(1+v2k2)du2+2dudv+dv2．xu'×xv'=(V1+vxV2)×V1=一vxV3,单位法向量为n=一V3(不妨设v>0,k>0)．又因xuu''=V1'+vk'V2+vk(一kV1+τV3)=kV2+vk'V2=vk2V1+vkτV3=一vk2V1+(k+vk')V2+τV3,xuv''u=kV2,xw''=0．所以L=xuu''.n=[一vk2V1+(k+vk')V2+vkτV3].(一V3)=一vkτ,M=xuv''.n=kV2.(一V3)=0,N=xvv''.n=0.n=0;Ⅱ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2=一vkτdu2．(a)求主曲率(参阅定义2．4．2(4),：于是,Weingarten线性映射W在基下的矩阵A=(aij)=(Lil)(glj)-1．如果非零向量X为W的特征向量(主方向),相应的特征值为λ(主曲率),即W(X)=λX,则特征方程为｜A一λI｜=｜(Lil)(glj)-1一λI｜=0,｜(Lij)一λ(gij)｜=0．特别当n=3时,对于切线曲面,有即λ[vkτ+λ(1+v2k2)一λ]=λkv(τ+λkv)=0．主曲率为(b)求曲率线：即一vkτ(dudv—du2)=vxτdu(du+dv)=0．故两族曲率线为：第1族：u=常数,为直母线,其曲率为0,它与曲面的主曲率k1=0相等．第2族：u+v=c(常数),则v=c—u(c为常数)．于是,该曲率线的曲率为它与主曲率不相等．综合上述,曲率线中一族为直母线,其曲率等于曲面的主曲率,为0；另一族为直母线的正交轨线,其曲率为,它不等于曲面的主曲率