数学期望存在充分必要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

数学期望存在的充分必要条件可以理解为概率分布函数的可积性。具体来说，如果一个离散型随机变量的概率分布函数是可积的，那么其数学期望就存在；如果一个连续型随机变量的概率密度函数是可积的，那么其数学期望也存在。

对于离散型随机变量，如果其可能取值为 x1, x2, ..., xn，对应的概率为 p1, p2, ..., pn，且所有这些概率值都不为0，那么数学期望 E[X] 存在的充分必要条件是：

lim(n∞) [x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn] = E[X]

即数学期望的值等于所有可能取值的概率加权平均值，且这个值是有限的。

对于连续型随机变量，如果其概率密度函数为 f(x)，那么数学期望 E[X] 存在的充分必要条件是：

lim(ε0+) [∫ (-∞ to x+ε) f(t) dt - ∫ (-∞ to x-ε) f(t) dt] = 0

即对于任意实数 x，lim(ε0+) [∫ (-∞ to x+ε) f(t) dt - ∫ (-∞ to x-ε) f(t) dt] = 0，也就是说数学期望在 x 处的值是有限的。

需要注意的是，数学期望的存在并不意味着它一定有限。例如，对于一个离散型随机变量，如果其取值集合是无界的，那么其数学期望可能不存在；对于一个连续型随机变量，如果其概率密度函数在某个区间上的积分是无穷大，那么其数学期望也可能不存在。因此，数学期望的存在性需要具体情况具体分析。

Answer 2

数学期望定义是E(X)=S xf(x) dx;
由大数定理和中心极限定理知，当从总体抽出的样本数很大时，其样本值的算术平均值就趣向与总的

期望（当然我说的是离散型的 连续可作类似的理解），因为抽样是随机的，所以通过从总体中抽样算出的总体的期望就要求级数Sxf(x) dx应不因项的顺序变化而改变其和,对于积分也应满足这一要求。

而Sxf(x) dx应不因项的顺序变化而改变其和（比如交错级数收敛，但其偶数项或奇数项不一定收敛）

也要求它绝对收敛。
所以数学期望要求Sxf(x) dx绝对收敛，Sxf(x) dx绝对收敛一定能推出Sxf(x) dx收敛，推出数学期望存在。故级数Sxf(x) dx收敛是期望存在的充分必要条件。