方程y-xe^y=1确定y是x的函数，求y''｜x=0

Question

方程y-xe^y=1确定y是x的函数，求y''｜x=0答案是2e^2

Answer 1

解：
x=0代入方程，得：y-0=1
y=1
等式两边同时求导
y'-e^y -x·e^y·y'=0
(1-xe^y)y'=e^y
y'=e^y/(1-xe^y)
y''=[(e^y)'(1-xe^y)-e^y·(1-xe^y)']/(1-xe^y)²
=[e^y·y'·(1-xe^y)+e^y·(e^y+x·e^y·y')]/(1-xe^y)²
=(y'+ e^y)·(e^y)/(1-xe^y)²
=[e^y/(1-xe^y) +e^y]·(e^y)/(1-xe^y)²
=(2-xe^y)·[(e^y)]²/(1-xe^y)³
x=0，y=1代入，得：
y''|x=0
=(2-0·e)·e²/(1-0·e)³
=2e²/1
=2e²

你给出的计算结果是正确的，就是2e²

Answer 2

按照两个函数相乘的求导法则来做

追问

考试的时候步骤这样写会扣分吗

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Answer 3

y-xe^y=1
y(0) - 0=1
y(0)= 1

y' - e^y - xe^y.y' =0
(1-xe^y)y' = e^y
y' =e^y/(1-xe^y)
y'|(0,1) = e

y'' =e^y[ (1-xe^y).y' + (1+xy') e^y) ]/(1-xe^y)^2

y''|(0,1) =e[ e + e ] = 2e^2