导函数在固定区间内递增(递减)求参数范围的这类题如何做

Question

已知函数f(x)=3ax^4-2(3a+1)x^2+4x,若f(x)在(-1,1)上是增函数,求a的取值范围

以这道题为例子,说一下这种题的通用解题思路

Answer 1

解：f′(x)＝12ax³－4（3a＋1）x＋4
＝12a（x³－1）－4（x-1）
＝4(x-1)[3a(x²＋x＋1)－1]
令f′(x)＞0
对a进行讨论
当a≤0时，3a(x²＋x＋1)－1＜0，∴x-1＜0，解得X＜1，符合题意
当a＞0时，4(x-1)＜0，3a(x²＋x＋1)－1＜0或者4(x-1)＞0，3a(x²＋x＋1)－1＞0
第二种情况不符合题意舍去
3a(x²＋x＋1)－1＝0的两根在（-1,1）之外
Δ＝（3a）²－4×3a（3a－1）＝12a－27a²＞0,解得0＜a＜4/9
∵x=－3a＋√（12a－27a²）≥1无解
∴不符合题意
∴a的取值范围是a≤0

这样的题目没有固定的解法，根据具体情况采取适当的方法
对于这样的题目而言，在某一区间单调递增（减），而真正的单调区间要包含
题目中给定的区间，并且在适当的时候要考虑开区间的端点值

Answer 2

解：f′(x)＝12ax³－4（3a＋1）x＋4
＝12a（x³－1）－4（x-1）
＝4(x-1)[3a(x²＋x＋1)－1]
f(x)在(-1,1)上是增函数
所以f′(x)>0而x-1<0
所以3a(x²＋x＋1)－1<0
当a≤0时，而x²＋x＋1>0(这个容易看出Δ<0)
所以3a(x²＋x＋1)－1<0 故a≤0
当a＞0时 令g(x)=3a(x²＋x＋1)－1
要使f′(x)>0 即g(x)在（-1,1）上有g(x)<0
即同时满足g(1)<0 , g(-1)<0
解得a<1/3 又因为a>0 所以0<a<1/3
综上 a<1/3

一楼第二问错了
函数增说明导函数大于0
减 导函数小于0
含有参数的话就要讨论
这要对二次函数的性质求最值 解法有很好的功底

Answer 3

函数的导数大于等于0对x在(-1,1)上恒成立，
这一题导数为12ax^3-4(3a+1)x+4, △
用分离参数法，当x=0时，a取任意值恒成立●
当x不等于0,分x的正负号可表示为a的不等式，
问题就转化为求不等式在给定区间的最大值或最小值
最后与●式求交集，得到a的范围有的题目还可用交叉相乘的配方法，依题而定，