二次函数压轴题

Question

1.（1） 求这条抛物线的解析式和抛物线顶点M的坐标；
（2） 求四边形ABMC的面积；
（3） 在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。
2.矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示, A、C两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线y=1/2x与BC相交于点D
（1）求点D的坐标
（2）若抛物线y=ax²+bx经过D、A两点, 试确定此抛物线的解析式
（3）(3) P为 轴上方(2)中抛物线上一点, 求△POA的最大面积
（4）(4) 设(2)中抛物线的对称轴与OD交于点M, 点Q为对称轴上一动点, 以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点Q坐标

Answer 1

1 、解：
1 ) 抛物线与x轴交于a（-1,0）
b(2,0)，以及c （0,-2）两点
因此设y=a(x+1)(x-2) 代入c：
所以a=1
y=x^2-x-2
m(1/2,9/4)

2)过m作md⊥ab于d
所以d(1/2 ,0)
所以od=1/2 md=9/4
oa=1 oc=2 bd=3/2

S四边形abmc=saoc+socmd+sbdm
=59/16

（3)设p（m,n）在抛物线y=x^2-x-2对称轴的右侧上
所以n=m^2-m-2
pa^2=(m+1)^2+n^2
pc^2=m^2+(n+2）^2
ac^2=5

①当∠ p1ac=90
有p1c^2=p1a^2+ac^2

m^2+(n+2）^2=5+(m+1)^2+n^2
又n=m^2-m-2
解出:m1=5/2 m2=-1<1/2 舍去
p1(5/2,7/4)

②当∠ p2ca=90

有p2a^2=p2c^2+ac^2

(m+1)^2+n^2=m^2+(n+2）^2+5
又n=m^2-m-2

解出:m3=3/2 m4=0<1/2 舍去
p2(3/2,5/4)

3、因为pa〉ac所以∠acp不可能为直角

综上所述： 存在p点： p1(5/2,7/4) p2(3/2,5/4)

2) 1）由题知，直线y=3*x/4与BC交于点d(x,3)
把y=3 代入 y=3*x/4中得，x=4 d(4,3)

2)抛物线y=ax^2+bx经过d(4,3)和a(6,0)两点，
分别代入中得:
a=-3/8 b=9/4

∴抛物线的解析式为：y=-3/8*x^2+9x/4
（3）抛物线的对称轴与x的交点q，符合条件，

∵CB‖OA，∠OM=∠CDO，

∴Rt△Q2MO∽Rt△DOC。

在Rt△Q2MO和Rt△DCO中，
q1o-co=3
∠Q2=∠ODC，

∴Rt△Q2 Q1O≌Rt△DCO

∴CD= Q1Q2 =4

∵点Q2位于第四象限，Q2(3,-4)
因此，符合条件的点有两个，分别是
q1(3,0)
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