二次函数 、
已知一条抛物线与Y轴的交点为C,顶点为D,直线CD的解析式为Y=X+3,并且线段CD的长为3√2
(1)求这条抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴有两个交点A(X1,0),B(X2,0),且点A在点B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作⊙M，请你判断CD与⊙M的位置关系，并说明理由。
题目中仅已知“CD = 3√2” ，故，点D的位置有两种可能：
① 点D位于点C的左下方；
② 点D位于点C的右上方。
先求出直线CD与 X 轴的交点G。
在 Y=X+3 中，令 Y = 0，得 X = -- 3。
∴直线CD：Y=X+3 与 X 轴的交点G的坐标为（-- 3， 0），则OG = 3。
又 ∵直线CD：Y=X+3 与 Y 轴 交于点C，
∴ 令 X = 0，得 Y = 3。
∴直线CD：Y=X+3 与 Y 轴的交点C的坐标为（0， 3），则OC = 3。
∵ OC = OG = 3，∠COG = 90°
∴ △COG 是等腰直角三角形，且∠CGO = 45°，
∴ CG = OG / cos45° = 3 / (√2/2) = 3√2， CG 恰好等于CD。
① 当点D位于点C的左下方时，点D落在点G处，顶点D坐标为（-- 3， 0）。
设此时 抛物线的解析式为：y = a （x + 3）的平方 + 0 （顶点式）
∵它经过C（0， 3） 把 x = 0、 y = 3 代入 得： a = 1 / 3。
∴ 这条抛物线的解析式为： y = （ 1 / 3）× ( x + 3)平方 。
② 当点D位于点C的右上方时，
过D作DE ⊥ X 轴 于点E，再过C作CF ⊥ DE 于 点F，
由图知：CF ‖ GE，且 知 CF = OE。
由CF ‖ GE得 ∠DCF = ∠CGO = 45°
∴ △DCF是等腰Rt △ ，且 CF = DF = CD × sin45° = ( 3√2 ) × ( √2 / 2 ) = 3。
∴ OE = CF = 3，FE = OC = 3， 则 DE = DF + FE = 3 + 3 = 6。
∴ 点D 的坐标为（ 3， 6 ）。
设这条抛物线的解析式为： y = a ( x -- 3)平方 + 6
∵它经过C（0， 3） 把 x = 0、 y = 3 代入 得： a = （-- 1 / 3）。
∴ 这条抛物线的解析式为： y = （-- 1 / 3）× ( x -- 3)平方 + 6。
综上，满足题意的抛物线的解析式有两个，分别为：
y = （ 1 / 3）× ( x + 3)平方 和 y = （-- 1 / 3）× ( x -- 3)平方 + 6。
（注：由根的判别式知：前者 与 X 轴仅有一个交点，后者 与 X 轴有两个交点）
（2）本问中，题目要求 “抛物线与x轴有两个交点A(X1,0),B(X2,0)” ，
而解析式 y = （ 1 / 3）× ( x + 3)平方 与 X 轴仅有一个交点，舍之。
求抛物线 与 X 轴交点，需令y = 0。
令y = 0 得：（-- 1 / 3）× ( x -- 3)平方 + 6 = 0
解得： x1 = 3 -- 3√2 x2 = 3 + 3√2
∴ A坐标为 （3 -- 3√2 ， 0） B坐标为 （3 + 3√2 ， 0）。
∴ AB = （ 3 + 3√2 ）--（ 3 -- 3√2 ） = 6√2。
（ 在数轴上，求两点间的距离 都是用 右边的大值减去 左边的小值）
（3）CD与⊙M 相切。理由如下：
∵ 直径AB = 6√2
∴ 半径MB = 3√2 --------------------------------------------------------- ①
∴ OM = OB -- MB
=（3 + 3√2） -- 3√2
= 3。 则GM = OG + OM = 3 + 3 = 6。
过M作MP ⊥ 直线CD 于点P，
在Rt△PGM 中，∠PGM = ∠CGO = 45° （∠CGO = 45° 前面已证）
∴ MP = GM × sin45° = 6 × (√2/2) = 3√2。------------------------------------------------- ②
由 ① ② 知：圆心M到直线CD 的距离 MP 等于 ⊙M的半径MB ，均为 3√2，
∴ 由圆心到直线的距离等于圆的半径知：⊙M 与 CD 相切。
(1)
令x=0 ,那么y=3
所以C(0,3)
设顶点D为(x,x+3)
那么CD^2=(x-0)^2 +(x+3-3)^2=18
解得x=3 或x=-3
当x=3时,D(3,6)
把顶点D和点C坐标代入二次函数的顶点式
可以求出y=(-1/3)x^2 +2x+3
当x=-3时,D(-3,0)
把顶点D和点C坐标代入二次函数的顶点式
可求出y=(1/3)x^2 +2x+3
(2)对于y=(1/3)x^2 +2x+3
因为△=4-4=0
所以此函数与X轴只有一个交点
对于y=(-1/3)x^2 +2x+3
△=4+4=8
所以x1=(-2+2√2)/(-2/3)
x2=(-2-2√2)/(-2/3)
然后x2-x1=6√2
即AB=6√2
(3)
由上题知半径R=3√2
由题(1)可知,两个二次函数的顶点坐标分别是(-3,0),(3,6)
由二次函数的对称性可知
y=(-1/3)x^2 +2x+3与X轴的两个交点的中垂线经过函数顶点
所以这个圆的圆心坐标为(3,0),且圆心与y=(-1/3)x^2 +2x+3的顶点D连线与X轴垂线
设y=(1/3)x^2 +2x+3顶点为A
那么三角形AMD为直角三角形
由因为AM=3-(-3)=6 ,MD=6
所以三角形AMD为等腰直角三角形
所以点M与斜边AD的中点连线长度即为点M到AD的距离
由直角三角形的性质可知,直角三角形直角的那个顶点与斜边中点的连线长度等于斜边的一半
所以这个三角形的斜边长为√6^2+6^2=6√2
所以M到AD的距离为3√2=半径
所以CD与⊙M相切
有些不用写的,我解释而已
