定理（柯西函数方程的解）若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)证明：由题设不难得f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）x=1，则f(n)=nf(1)x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)= f(1) --------- (2)x=－ ，且令y=－x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列，则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1)
参考资料：百度百科函数方程