第1个回答 2022-06-27
关于微积分，牛顿总结了前人思想，建立了成熟方法，并提出之前四个问题的内在联系。虽然是巴罗的学生，但他在代数和微积分上更受沃利斯的影响，通过分析研究问题，但即便是他也认为严格的证明离不开几何。
1669年牛顿在朋友中传播了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法：面积在x点的变化率是曲线在x处的y值，而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。他给出法则：如果导数y值是若干项之和，那么面积是每一项面积之和，即函数之和的不定积分是各个函数的积分之和。他进一步发展了无穷级数，对函数使用二项式定理逐项积分，并稍微意识到收敛性的存在。
到1671年（1736年出版，记性好的读者可以发现此时牛顿已经见上帝很多年了）他做了更广泛、明确的说明。他认为变量是由点线面的连续运动产生的，而非他之前说的无穷小元素的静止集合。他把变量叫做流，变量的变化率叫流数，引入了一个时间概念。用现在的说法，对y=x^n 有 dy/dt=nx^(n-1)dx/dt。虽然这一方法与之前没有本质差别，也没有真正定义x,y对于时间的流数，但是他意识到这是一个普遍方法：无需复杂计算即可求切线、面积，把应用范围从有理数域推广到无理数域。在本书中他做了一些应用，如：用流数法微分隐函数，求曲线切线，函数的最大值、最小值，给出了曲率半径公式，最后附了积分简表。
因为出版微积分理论的时间较晚，引发了与莱布尼茨的口水战。在他的巨著《自然哲学的数学原理》中也涉及到微积分的概念，不过他使用了几何的证明方法，因为他认为几何更容易被同时代人理解，也希望能与惠更斯的几何著作媲美。
《原理》一书叙述了著名的牛三定律：（百度百科带个微积分，蹭下）
前两条由伽利略和笛卡尔发现并提出，而牛顿给出了更明确的概念。
牛顿证明了开普勒定律，研究了圆锥曲线性质，推断了万有引力，特别是球体对质点的吸引力。接着他着手于三体运动，得到了一些结果，但至今仍未解决（不然也不会被刘慈欣拿去写书了）。他研究了物体在气体、液体中的运动，开创了流体力学。有一节研究空气中的波动理论，并得到了声音在空气中的速度公式。他得到了一个重要结论：行星在真空中运动。在最后一卷中他讨论了太阳、行星质量的计算办法，并求出地球的密度是水的5-6倍；证明地球是一个扁球并求出扁平度；用观察到的行星扁度求它的日长；计算了地球引力在地表的变化；他解释岁差，地球沿赤道凸出，在月球引力作用下，地球受力点不是地心，而是周期性在旋转轴上变动；说明了潮汐特征，讨论了日、月、地的运动规律。牛顿花了大量时间研究月球运动以改进求经度的方法，月球问题居然能让牛顿抱怨头疼。