第1个回答 2021-12-15
这是高一的集合题，集合题和初中的不等式以及不等式组的知识有着密切的关联，是高中数学的基础。
已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1, m为常数}.
(1)若BA, 求m的取值范围；(2)若AB, 求m的取值范围；
(3)问：是否存在实数m，使得A=B？若存在, 求出m的值；若不存在，说明理由.
分析：(1)第一小题要分情况讨论。当B是空集时，必有BA。而满足B是空集的条件是m+1>2m-1；当B不是空集时，有如图(1)的关系(相邻的端点包括相等的情况，即-2≤m+1≤2m-1≤5, 可以理解为不等式组的形式)：
注意，解不等式组时，取的是各解集的交集，而前面分情况讨论的两个结果，则存的是两个解集的并集。
解：(1)当m+1>2m-1时，解得m<2，B=，∴BA, （这是第一种情形，要和第二种情形 求并集）
当-2≤m+1≤2m-1≤5时, 解得2≤m≤3.
【注释：即，由m+1≥-2，得m≥-3；由m+1≤2m-1，得m≥2；由2m-1≤5，得m≤3.】
【注释：接下来求m<2和2≤m≤3的并集，如图(2)】
【注释：求并集时，当m<2且m≥2时，解集包含x=2；求交集时，当m<2且m≥2时，解集不包含x=2】
所以，m的取值范围为：{m|m≤3}.
分析：(2)千万不要以为当m≤3时，BA，那么反之当m≥3时，就有AB. 还是要根据数学的原理来思考问题的，不能想当然。当AB时，如图(3)，包括相邻端点相等的情形。不相邻的端点不需要考虑，所以不需要考虑m+1≥2m-1。因为当m+1≤-2且2m-1≥5时，就必然有m+1≥2m-1了。也不用像第一小题一样考虑A是空集的情况，因为A是确定的数集，不可能是空集。所以第二小题可以直接点解。
解：(2)依题意列不等式组：{m+1≤-2；2m-1≥5}，解得m的取值范围为.
【注释：由m+1≤-2，得m≤-3，由2m-1≥5，得m≥3. m不可能不大于一个小的数，又不小于一个大的数。】
分析：(3)如图(3)，可以直接比较两个集合的同侧端点，即当m+1=-2时，求得m=-3；当2m-1=5时，求得m=3，形成矛盾，所以不存在这样的m，使A=B. 也可以根据“当两个集合互相包含时，两个集合相等”的定理，即当BA且AB时，就有A=B来求解。其实就是求(1)(2)两个解集的交集，而空集与任何解集的交集都是空集，所以第三小题的结果仍是空集，就是找不到一个m使A=B的意思。
解：(3)不存在m值, 使A=B.
因为与{m|m≤3}的交集仍是.【或“因为{m|m≤3}=”】
更多相关：
从一道高一集合题分析集合题的一般解法，高中数学的开门篇！
一道综合性很强的关于圆的中考数学真题，做一道可以复习很多知识
新题型！天津市2021年中考数学填空题的压轴题，图形找点
一道抛物线相关的中考数学真题，天津市2021年中考数学
中考数学必须掌握的技能：整体构造法的应用
第2个回答 2021-12-15
主要内容：
以柯西不等式、三角换元法和多元函数极值法介绍mx+ny在已知条件下求最大值的主要过程步骤。
柯西不等式法：
∵(x^2+y^2)(m^2+n^2)≥(xm+yn)^2
∴1≥(mx+ny)^2,
即：-1≤mx+ny≤1,
所以mx+ny的最大值为1。
三角换元法：
设x=sint，y=cost，
m=sink，n=cosk，则：
mx+ny
=sintsink+costcosk
=cos(k-t),
所以当cos(k-t)=1时，有最大值，即：
mx+ny的最大值=1。
多元函数最值法
设F(x,y,m,n, λ)=mx+ny+λ1(x^2+y^2-1)+λ2(m^2+n^2-1)。
分别对参数求偏导数得：
Fx=m+2xλ1,Fy=n+2yλ1,Fm=x+2mλ2，
Fn=y+2nλ2，Fλ1=x^2+y^2-1,
Fλ2=m^2+n^2-1,
令上述六个偏导数为0，则：
x=-m/2λ1=-m/2λ2,
y=-n/2λ1=-n/2λ2,
解得：2λ1=2λ2=±1,
此时mx+ny的最大值
=m*m/2λ1+n*n/2λ1
=(m^2+n^2)/2λ1
=1/1=1。