这道题用到的知识点是比较多的。
第一步，换元参数x，x=t^8
第二步，利用有理数的不定积分通用方法，这是假分式，运用除法分解为多项式+真分式的形式
第三步，换元积分法，将dt---》d（t^2+1）
第四步，还原到x的形式，x=t^(1/8)
详细解答过程，如下图所示。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2021-10-09
解法如图所示，之后算到这步之后前面的不定积分出来是（4/3）x^（3/4）＋C，后面的用一次那个代换法求解即可。具体步骤是让x^（1/4）＝t^（1/2）然后x＝t^2，dx＝2tdt，原式子（后面第二项，前面的一项不定积分已经求出来了）等于∫2t/（t^2＋1）dt＝∫1/t^2＋1d（t^2＋1）＝ln（t^2＋1）＋c＝ln（x＋1）＋c，所以最终结果为（4/3）x^（3/4）＋ln（x＋1）＋C，其中C为任一常数。
第2个回答 2021-10-08
let
u=x^(1/4)
du=(1/4)u^(-3/4) dx
dx = 4u^3 du
u^2
=u(u+1) -u
=u(u+1) -(u+1) +1
∫ dx/[√x+x^(1/4)]
=∫ 4u^3 du/(u^2+u)
=4∫ u^2/(u+1) du
=4∫ [ u -1 +1/(u+1)] du
=2u^2 - 4u + 4ln|u+1| +C
=2√x -4x^(1/4) +4ln|x^(1/4) +1| + C
u=x^(1/4)
du=(1/4)u^(-3/4) dx
dx = 4u^3 du
u^2
=u(u+1) -u
=u(u+1) -(u+1) +1
∫ dx/[√x+x^(1/4)]
=∫ 4u^3 du/(u^2+u)
=4∫ u^2/(u+1) du
=4∫ [ u -1 +1/(u+1)] du
=2u^2 - 4u + 4ln|u+1| +C
=2√x -4x^(1/4) +4ln|x^(1/4) +1| + C
第3个回答 2021-10-08
解如下图所示
第4个回答 2021-10-08
令t=⁴√x. 则x=t⁴. dx=4t³dt
=∫4t³/(t²+t）dt
=∫4t²/(t+1)dt
=4∫(t²-1+1)/(t+1)dt
=4∫[(t-1)+1/(t+1)]dt
=2t²-4t+4ln(t+1)+c
=2√x-4⁴√x+4ln(⁴√x+1)+c
解法分析：利用换元法进行积分。
=∫4t³/(t²+t）dt
=∫4t²/(t+1)dt
=4∫(t²-1+1)/(t+1)dt
=4∫[(t-1)+1/(t+1)]dt
=2t²-4t+4ln(t+1)+c
=2√x-4⁴√x+4ln(⁴√x+1)+c
解法分析：利用换元法进行积分。
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