前面介绍的是频率域滤波，即首先将信号通过FFT转换到频率域，频率滤波后再进行反傅立叶变换得到滤波后的时间序列。能否直接在时间域进行滤波处理呢?这就是时间域滤波问题。时间域常用的是递归滤波和褶积滤波。我们主要介绍递归滤波的原理和设计。
1.递归滤波器的原理及特点
在时间域上进行数字滤波时，是在时间域上将输入地震记录与滤波因子作褶积，
由上式可见，如果h(n)的离散数目为N，则每计算一个点的 值，就要进行N次乘法和N-1次加法;若 有M个点，则总计要进行M×N次乘法和M(N-1)次加法。当M的值很大且是多道运算时，其运算工作量是相当大的。如果能在计算 时，充分利用以前计算出的结果 ，使计算工作量减少，就显得很有价值。这种设想在数学上是可行的，即要建立一个递推公式来取代上面的褶积计算。从物理概念上讲，相当于设计一个反馈滤波器，图9-3-1给出了这种滤波器的原理图。图中x(t)经滤波器Ⅰ后得到输出 ，再将 一部分经滤波器Ⅱ后反馈到 上得到输出 。因此递归滤波在数学上可写出一般递推公式
图9-3-1 递归滤波器原理图
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式中a0，a1，…，an和b1，b2，…，bm为递推滤波系数，一般n+m+1<K(k为滤波因子的点数)。从(9-3-1)式可以看到，每计算一个 值，都要用到以前计算的结果，其运算是一种递推的关系，因此可以节省许多工作量。对(9-3-1)式进行Z变换，可以很容易得到递归滤波器的Z变换形式
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式中Z=e-iω。从以上讨论可以看到，递归滤波实际上是一种数学运算上的变化。这种变化的可能性就是(9-3-1)所表示的滤波函数是否存在的问题，即是否物理可实现的问题。(9-3-2)式表示了递归滤波器的频率特性，由傅立叶变换及其性质，容易得到图9-16中滤波器I和滤波器II的频谱H1(ω)和H2(ω)，它们分别为
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由图中的反馈结构还可以得到
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整理可得递归滤波器的系统函数的频率响应:
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由式(9-3-5)可知，递归滤波器的频率响应H(ω)的系数仍然是未知的，那么如何得到这些系数呢?这就涉及到递归滤波器的设计问题。
2.递归滤波器的设计
设计递归滤波器实际上就是根据已给出的滤波器的频率特性，确定出递归滤波的参数，a0，a1…，an和b1，b2，…，bm的问题。目前具体的递归滤波器的设计方法有最小平方法，即利用最小二乘原理求出参数;Z平面法，适用于一些简单滤波器的设计;借用法，即利用现有的电滤波器的传输函数作一变换，转换成递归滤波器，利用电滤波器的传输函数中的参数确定递归滤波参数，即可进行递归滤波。本书主要讲Z变换法，以掌握不同滤波器的特性参数和功能。
(1)用Z平面法设计递归滤波器
设计简单滤波器可用Z平面法。在图9-3-2所示的Z平面中，Z=eiΩ表示一个点，这个点表示的复数的模值为1，位相为Ω。当Ω由0→2π变化时，就画出一个圆，称为单位圆。
现在假定有一个复数，
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因为1可以看成是单位圆上Ω=0的一个点，即图9-3-2中的R点，此处R=1，另外由于Z=OP，则
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又因为
Δt为时间域采样间隔，因此PR随频率f而变。如果把F(Z)看成一个滤波器，则这个滤波器的振幅特性为
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当Ω由0→π时，即f由0变化到 变化，则PR由0变到2。FN称为折叠频率，即在此频率以上当Ω再增加时，PR又重复按周期性变化。
显然这个滤波器对不同频率的信号有相对压制作用，这正是频率滤波器的特点。但这个滤波器并不适用，因为设计滤波器时总是希望通频带越平坦、边界越陡越好。上述的滤波器可以认为是压制零频率分量的滤波器，但它对零频率附近的频率分量也给予了不同程度的压制。为了改进这种滤波器的特性，可在实轴上靠近R点附近再选一个s点。假定坐标为1.01，现在以PR和PS之比 作为滤波器的频率特性，因为ps=os-op=1.01-Z，即
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显然从式(9-3-7)可见，当f=0时，Z=1，H(Z)=0;随着f增大，H(Z)值很快增大而接近于1，即边界特性很陡，且通频带比较平滑，这可以认为是消除零频率分量成分较好的滤波器，见图9-3-3。
图9-3-2 设计递归滤波器的Z平面
图9-3-3 压制零频率分量的滤波器
根据递归滤波器的关系式，上述滤波器的递归公式为
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从该式可以看出，每计算一个输出，只要求两次加减法和一次乘法即可。
1)高通滤波器的设计
上例中是一个压制零频率的滤波器，可以看成是一个高通滤波器，而且S点位置的选择，决定了滤波特性曲线的陡度。把(9-3-7)中的系数0.9901改为系数q，并省去全式的常数因子，得出
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上式即高通滤波器的一般表示式，其功率谱可以表示为
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当Ω=±π时，功率谱曲线具有极大值
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分析(9-3-8)式，q决定特性曲线的陡度，若规定极大值的一半处的横坐标为频带的下边界点，用f边表示边界频率，则
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所以
2)低通滤波器
如图(9-3-4)所示，我们把S点选在高频一侧，即在-1点以外时，则可以得到一个低通滤波器，此时滤波器的特性关系式为
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其功率谱特性如图9-3-5所示
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根据滤波特性的关系式，q必须小于1。
`3)带通滤波器
将低通和高通滤波器相乘，即可得到一带通滤波器，其关系式为
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其中q1和q2分别是低通和高通滤波器的系数。
4)带阻滤波器
根据上面的讨论，若要压制某一频率的信息，只要将图9-3-4中的R点选在该频率点处。例如将R点选在f=50Hz的位置上，就得到压制50Hz的点阻滤波器，这样，只要把50Hz在Z平面上的位置求出来就可以了。
设Δt=1ms，f=50Hz，则
图9-3-4 设计低通滤波器的Z平面
图9-3-5 低通滤波器的振幅特性
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因此
故R点的位置为R=e+i18°，如图9-3-6所示。
另外为了实现零相移滤波，还需要选一个与R点对称的共轭点,
或表示为
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再在R点附近选择一个极点，因为极点必须在单位圆外，故可选择
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利用零点和极点组成的滤波器为
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特性曲线见图9-3-7。以上讨论证实了R点的位置决定了频率的压制点，从数学关系上讲，对滤波关系式选择不同的零点和极点，就可以对相应不同频率的信息起到压制作用。因此，可以把点阻滤波器推广为带阻滤波器。这时，对于零点和极点不应选一个，而应根据滤波特性设计的要求选择多个，其一般表达式为
图9-3-6 陷波滤波器的Z平面
图9-3-7 陷波滤波器的振幅特性
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如图9-3-8所示。而总的特性是各个点阻滤波器的合成，如图9-3-9所示。
图9-3-8 点阻滤波器的频率特性
图9-3-9 带阻滤波器的频率特性
(2)反向递归滤波器及零相移滤波器
1)反向递归滤波器
进行递归滤波器设计时，Z平面上的点都是共轭选择的。对共轭点而言，其滤波关系式为
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设X(Z)和Y(Z)分别为输入和输出信号的谱函数，则滤波关系式为
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上式移项整理后得
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将Y(Z)、X(Z)分别表示为时间域函数，应用频谱分析的延时定理，(9-3-19)的一般表达式为:
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式中t=T，T-1，T-2，…0;T为要处理记录xi的最后一个时刻。具体计算时，设t>T，xt=0，yt=0。
从(9-3-20)可以看出，当计算yt时，必须先计算出大于t时刻的值，也就是说，要先从大的时间算起，再往小时间方向递推，相当于把信号掉过头来往滤波器内送，因此称为反向递归滤波。
2)零相移递归滤波器
通过前面学习知道，在地震资料数字滤波中，经常用的是理想滤波器，即零相位滤波器。现在在已经设计出物理可实现递归滤波器H(Z)的条件下，如何来设计零相位滤波器呢?先来看下式
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转换到频率域，有
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显然滤波器G(Z)是零相位的，且可通过H(Z)和 得到，这就是设计零相位滤波器的思路。我们把前者称为正向递归滤波，后者称为反向递归滤波。即只要把原来设计的滤波器乘上一个共轭复数就能实现。
例如设计滤波器为H1(Z)，其共轭复数为 ，零相移滤波器为
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对递归滤波器来说，
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式(9-3-24)即为一个反向滤波器。就是说，零相移滤波相当于H1(Z)和 两个滤波器的串联，如图9-3-10。
由图9-3-10可见，信号xt是先经过H1(Z)滤波得到ut，再经过 反向滤波，最后得到yt。
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式(9-3-23)是正向递归滤波器公式，它从地震记录的头部开始对整张记录递推计算;式(9-3-24)是反向递归滤波器公式，它从地震记录的尾部开始对整张记录递推计算。两次递推滤波后，得到零相位滤波结果。
图9-3-10 零相移滤波器
3.设计递归滤波器应注意的问题
(1)递归滤波器的阶数
阶数越大，计算结果越精确，但是计算量增大。因此，实际处理时常选n=m=4。
(2)滤波器的稳定性
递归算法中如果滤波器不稳定，递归过程就可能因不收敛而得不到正确的结果。因此在设计滤波器时，要考虑稳定性问题。滤波器稳定的条件:
若B(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bmz-m的收敛域是包含单位圆的圆外域，则滤波器是稳定的。
(3)时变滤波
需要说明的是，由于地层的大地滤波作用，使得来自浅、中、深层的频谱成分差异很大。有些地区，浅层可达到70～80Hz，深层只有10～30Hz，这使得如果做带通滤波，就不能从浅层到深层用一个滤波门，而应根据不同的时间设置变化的滤波门进行时变滤波。实际处理时，尽量使带通区域能平滑过渡，滤波要混有相邻时间窗口的数据。
对于一般情况，是根据不同的时窗提取不同的滤波因子，然后进行分段时变滤波。相邻段之间可以采用线性加权插值，如图9-3-11，t1-t'1用h(1)t滤波因子滤波，t'2-t3用h(2)t滤波因子滤波，t'1-t'2h(12)t滤波因子滤波。
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图9-3-11 时变线性加权