样条函数的三次样条插值

Question

如题所述

Answer 1

对于 n+1 个给定点的数据集 {xi} ，我们可以用 n 三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果
表示对函数 f 进行插值的样条函数，那么需要：
插值特性，S(xi)=f(xi) 样条相互连接，Si-1(xi) = Si(xi), i=1,...,n-1 两次连续可导，S'i-1(xi) = S'i(xi) 以及 S''i-1(xi) = S''i(xi), i=1,...,n-1. 由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成 S的 n 个三次多项式来说，这就意味着需要 4n 个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了 n + 1 个条件，内部数据点给出 n + 1 − 2 = n − 1 个条件，总计是 4n − 2 个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。
其中一项选择条件可以得到给定 u 与 v 的钳位三次样条，
另外，我们可以设
. 这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。
在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数 f 的最小震荡。
如果选择另外一些条件，
可以得到周期性的三次样条。
如果选择，
可以得到complete三次样条。 三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在索伯列夫空间 H([a;b]) 最小化函数
的函数。
函数 J 包含对于函数 f(x) 全曲率 的近似，样条是 f(x) 最小曲率的近似。
由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到 n 个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。 它可以定义为
以及
. 通过解下面的方程可以得到它的系数。