∮xy^2dy-x^2ydx,其中C为圆周x^2+y^2=a^2,方向为逆时针

Question

用格林公式算积分,得∫∫x^2+y^2dxdy
题目里有x^2+y^2=a^2,少乘了1/2,
为什么不能提出来?什么情况才可以提出来?
a^2∫∫dxdy=πa^4
∫∫dxdy不是等于区域面积么？

Answer 1

D是整个区域，而不是边界

Answer 2

∮xy^2dy-x^2ydx=∫∫x^2+y^2dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr =2π(1/4)r^4︱(0,a)=(1/2)πa^4 注意：∫∫x^2+y^2dxdy是二重积分,在D上x^2+y^2≤a^22024追问

请告诉我，为何是a÷2

积分区域难道不是整个圆周所包围的部分吗

还是说二重积分积分区域只能是在x轴上部

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