求方程根号下x^2+y^2+z^2=x+y+2的整数解

Question

如题所述

Answer 1

平方得：z^2=4+4(x+y)+2xy
故z为偶数，记z=2a,则有：a^2=1+x+y+xy/2
因为x,y是对称的，xy至少有一个为偶数，不妨设x为偶数x=2b
则上式化为：a^2=1+2b+y+by
得：(b+1)y=(a^2-1-2b)
当b+1=0时，即b=-1, 有a^2-1-2b=0,得a^2-1+2=0, 无解；
当b+1≠0时，有y=(a^2-1-2b)/(b+1)=(a^2+1-2-2b)/(b+1)=(a^2+1)/(b+1)-2
故有(a^2+1)整除b+1,设a^2+1有因数k,即a^2+1=k(b+1), 则有b=(a^2+1)/k-1
此时z=2a, y=k-2, x=2(a^2+1)/k-2. 这就是所有整数解。
比如令a=1, 则有z=2, a^2+1=2的因数有1，2，
当k=1时，有y=-1, x=2, z=2
当k=2时，有y=0, x=0, z=2