初二上学期数学题 因式分解

Question

一道同学写不出的题
记不清了的，大概是这样：
一个学校排队，现在排成了一个长方形队伍，再增加100人或者144人就能排成方阵
求原来的人数。（那个144我记不清了，好像是144又好像是244，会写的话个都带进去试一试，反正是整数）

我们两去问老师，老师说列方程
X+100 与X+144是关于平方差的关系
怎么列等式呢？
急！加分哦！

Answer 1

不妨设原来的人数为X
X+100=a²
X+144=b²
a、b皆为自然数(所以a、b都大于10）
两式相减则有：44=（b+a）*（b-a）…………（1）
将44因式分解：44=11*4………………………（2）
很显然，无解（5、6；4、7；3、8；2、9；1、11；这几组都不符合要求）
将上述的144换成244，经过整理可得：
144=（b+a）*（b-a）…………（3)
到了这个地方，将左边的数字拆开成两个自然数的乘积，一般可以求得解
所以答案为：
a=35
b=37
X=1125

Answer 2

原题应该是244人。
设原来人数为X，增加后两次的总人数分别为A,B（A<B,且为整数,不等于0），则可列方程：
X+100=A^2,X+244=B^2
两式相减，得（B-A）*（B+A）=144=12*12
因此只需要求出12以内144的约数，分别为（2,3,4,6,9,8,12），很容易看出12不符合
144=2*72=3*48=4*36=6*24=9*16=8*18
A=(相乘的两个因子相减)/2,B=(相乘的两个因子相加)/2
通过计算可以得到A，B有4个值符合，分别为（35,37）（16,20）（9,15）（5,13）
又因为A至少要大于10，所以最后A,B取值为（35,37）和（16,20）
因此X的值就分别为35*35-100=1125和16*16-100=156

Answer 3

（X+100 ）²-（X+144）²