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浅海声传播的波束位移射线简正波理论
张仁和 李风华
摘要 适用于一般分层浅海的波束位移射线简正波(BDRM)理论，该理论的特点是将边界对声场的影响通过等效边界反射系数来表示，因而容易推广到具有切变弹性的海底. 对浅海声场的理论计算表明，BDRM理论具有计算精度较高、计算速度较快等优点. 利用BDRM理论计算了浅海中脉冲波形传播，理论与实验数据符合比较好.
关键词 简正波 波束位移 切变波 脉冲声传播
建立快速、精确的海洋声场计算模型一直是海洋声学研究的一个重要课题，简正波理论在海洋声学中作为一种比较主要的计算方法，得到了广泛的应用，目前已有相当多的简正波计算程序〔1～3〕. 近年来，随着脉冲声传播、浅海地声反演、匹配场定位等问题的深入研究，在计算速度与精度方面对声场理论提出了越来越高的要求. 目前，虽然根据微扰理论计算复本征值及本征函数的传统简正波理论仍被广泛应用〔1〕，但是已有一些研究人员注意到在某些浅海条件下，用微扰法计算的复本征值误差比较大〔4,5〕. 为了提高简正波理论的计算精度，很多研究人员着手研究在复平面内直接求解本征值的方法. 由于在复平面内求解本征值计算十分困难，因而Tindle与Chapman〔6〕等人提出了一种新的在复平面内寻找简正波本征值的方法，但计算量仍然十分大. Levinson〔2〕与Westwood〔7〕等人提出利用Airy函数来求解本征函数以提高计算速度.
除了上述改进的简正波理论外，有些作者〔8,9〕利用WKB近似计算简正波的本征函数. Zhang〔5,10,11〕给出了用边界反射系数与本征声线跨度表示简正波衰减与群速的简明公式，很好地阐明了简正波衰减与群速的物理图像. 文献〔12〕利用波束位移的概念研究了理想跃变层及线性跃变层这两种特殊浅海中声传播，并取得较好结果. 为了使波束位移射线简正波(BDRM)理论具有广泛的适用范围，本文结合利用广义相积分(WKBZ)〔13〕近似，将该理论推广到一般分层非均匀浅海.
一般情况下，声波在海底介质中传播，除了压缩波外，还存在切变波. 在低频或声源及接收器接近海底时，切变波对声场有重要影响，近来关于切变波的计算问题越来越受到重视〔6,7〕，能否计算切变波已成为一个声场计算方法适用范围的重要标志之一. 由于切变波的计算比较复杂，使得研究切变弹性海底对声场的影响变得比较困难. 利用波束位移射线简正波理论可将边界对声场的影响从水层中的折射与绕射分离开来的优点，进一步将理论推广到具有切变弹性海底的浅海声场计算. 通过对传播损失的理论计算表明，在考虑切变波的情况下，BDRM也具有较高的计算精度和较快的计算速度.
在具有负跃层的典型浅海条件下，脉冲信号传播具有规则、稳定的梳状多途结构，这种多途结构中包含有大量的浅海环境信息，可以被用于地声参数反演、匹配场定位等多种问题，而受到广泛的注意. 比较了MOATL〔3〕与BDRM计算的脉冲声场，计算结果表明BDRM对脉冲声传播问题仍有较高的精度及计算速度. 结合1996年中美远黄海的实验数据，利用BDRM理论计算了脉冲声的波形结构，理论计算与实验数据符合得较好.
1 波束位移射线简正波理论
如图1所示的浅海，简谐点声源激发的声场可以表示为一系列简正波的叠加：
(1)
其中νl=μl+iβl是简正波的复本征值. 复本征值的实部μl是水平波数，虚部βl是简正波衰减. 简正波的本征函数Φ(z,νl)满足一维波动方程
(2)
及相应边界条件.
图1 浅海模型
将如图1所示整个空间划分成3个部分，区域I包含海面及表层声速变化较快的区域(海洋表层由于受日照、风浪的影响声速变化一般比较快)，区域III包含水层以下的海底半空间，区域II内包含了海洋表层以下的声速变化比较缓慢的海水区域，在该区域内本征函数可用广义相积分(WKBZ)近似(WKBZ〔13〕近似克服了WKB近似在反转点附近发散的困难)来表示. 应当指出，图1中区域I与区域II分界面h的选取不影响声场计算结果. 简正波本征方程可表示为〔10,11〕
(3)
其中ζl1，ζl2分别为图1区域II内上下反转点深度(如果没有反转点，则为相应的上下边界深度)， V1(νl), V2(νl)分别为从远离区域II上下界面的地方入射到区域I，III的平面波的反射系数.
将(3)式两边取对数，得
(4)
式中φ为反射系数V的相位.
方程(4)是一个ν的复方程，直接求解是比较困难的，当满足βl《μl(一般情况下是容易满足的)时，可将方程(4)近似表为
(5)
(6)
其中
(7)
(8)
(9)
方程(5)是一个关于μl的一维实方程，比较容易求解. 而方程(6)为一个等式，只要知道μl即可直接计算βl. 这样方程(4)化简为一个一维实方程，可以大大提高本征值求解速度，而且这样对复方程(4)的近似求解比传统的微扰近似求解具有更高的精度〔4,5〕. (4)与(5)式中S(μl)恰好等于水平波数为μl的本征声线在区域II中一个循环的水平距离(即跨度，见图1)，δ1(μl)与δ2(μl)分别为本征声线在区域II上下边界处的波束位移.
(5)与(6)式中边界反射系数计算如下：
(10)
(11)
其中h与H为区域II上下边界的深度.
另外从(5)与(6)式可以看出，边界以外的介质是通过反射系数V(μl)来影响声场的，这样可以比较容易地研究边界对声场的影响.
在(5)式两边分别对μ与ω求偏微分可得简正波群速的表达式
(12)
其中
,
(13)
(14)
(15)
(13) 式中T(μl)是恰好等于水平波数为μl的声线在区域II中经过一个循环所需的时间，τ1(μl)，τ2(μl)分别为区域II内声线在上、下边界的时间延迟. 利用(5)，(6)与(12)式计算浅海简正波声场的方法称为波束位移射线简正波(Beam-Displacement Ray-Mode)理论.
区域II内的本征函数的广义相积分(WKBZ)近似可表示为〔13〕
(16)
其中B=2.152， D=1.619,
在区域I内的本征函数可在计算边界反射系数V1(μl)时同时求得.
2 波束位移射线简正波理论的计算精度与计算速度
为了说明BDRM的计算精度及计算速度，本节计算了两种海底模型的声传播损失曲线，这两个例子的海水声速剖面见图2(a).
图2 海底模型1，本文理论与文献〔1〕理论计算的比较
(a) 声速剖面， (b) 传播损失随距离变化，声源50 m, 接收50 m，频率500 Hz
海底模型1对应的均匀海底的海底参数分别为：声速1680 m/s，密度1.8 g/cm3，吸收0.6 dB／λ，λ为波长，计算频率为500 Hz. 图2(b)给出用Kraken〔1〕及本文的BDRM理论计算的声源与接收器皆为50 m的传播损失曲线，结果表明，对于本例子Kraken与BDRM结果符合很好.
海水声速与图2(a)相同，海底模型2对应的均匀海底参数为： 声速1 540 m/s，密度 1.6 g／cm3，吸收0.545 dB／λ，计算频率2 000 Hz. 声源与接收器皆为7m. 图3给出了在用BDRM， Kraken〔1〕，Krakenc〔1〕， FEPE〔14〕4种方法计算的传播损失曲线，其中FEPE(λ／32)， Krakenc及BDRM的计算结果彼此符合得比较好，而Kraken计算误差比较大. 对于海底模型2，由于海底声速与有效简正波(指那些对声场起重要作用的简正波)的相速接近，传统的微扰理论不适用〔4，5〕，所以Kraken〔1〕在这种情况下误差比较大.
图3 海底模型2
本文理论与Kraken, Krakenc, FEPE (λ／8)及FEPE
(λ／32)的比较. 声源7 m， 接收7 m, 频率2 000Hz
表1给出了同样条件下用BDRM， Kraken〔1〕， Krakenc〔1〕以及FEPE〔14〕计算的20km传播损失(TL)与计算时间；其中FEPE（λ／8)表示深度步长Δz=λ／8, Δr=5*Δz,用1阶Pada级数、Green初始场计算的传播损失； FEPE(λ／32)表示深度步长Δz=λ／32，Δr=2.5*Δz, 用3阶Pada级数计算的传播损失. 从图3与表1看出，FEPE(λ／32)与BDRM的计算结果一致，而Kraken计算的传播损失与BDRM在20km处偏差达12.6 dB, FEPE(λ／8)的偏差约为5.6 dB, Krakenc的偏差约为0.7 dB； 而FEPE(λ／32)的计算时间约为BDRM的9 350倍， Krakenc的计算时间约为BDRM的20倍.
表1 用BDRM， Kraken, Krakenc与FEPE计算的20km 传播损失与时间(微机P／200)
BDRM Kraken Krakenc FEPE（λ／8) FEPE(λ／32)
20 km TL／dB 83.24 95.86 82.56 88.89 83.24
运算时间／s 0.2 1.56 3.96 71.84 1 870.76
3 切变弹性海底对声场的影响
对于具有切变弹性海底的浅海，用有限差分法计算声场比较困难〔1〕. 按照BDRM理论，根据表达式(5)与(6)，先计算出切变弹性海底的海底反射系数，就可以计算出简正波的本征值及衰减，进而计算声场. 关于切变弹性海底反射系数的计算在一些著作中有详细的讨论〔7,15〕，简述如下.
如图4的分层介质，设第j层内的压缩波势及切变波势可分别表示为
Aj,1Φj,1(z)+Aj,2Φj,2(z),
(17)
Bj,1φj,1(z)+Bj,2φj,2(z),
(18)
图4 分层地声模型
其中Aj,1，Bj,1，Aj,2,Bj,2分别为任意常数，Φj,1(z),Φj,2(z)表示第j层中满足波动方程的一组线性独立的压缩波势，φj,1(z),φj,2(z)表示第j层中满足波动方程的一组线性独立的切变波势.
将(17)与(18)式代入第j层与第j-1层的边界条件，Aj-1,1,Bj-1,1，Aj-1,2，Bj-1, 2可以用Aj,1,Bj,1，Aj,2,Bj,2表示为
(19)
其中第j层转移矩阵T(z,j)为4×4矩阵,
T11(z,j)=-iμΦj,1(z), T12(z,j)=-iμΦj,2(z),
T23(z,j)=-iμφj,1(z), T24(z,j)=-iμφj,2(z),
此处ηj,λj为Lame常数. 压缩波与切变波的声速cp,cs分别为cs=.
定义总体转移矩阵
M=T(z0,1)T-1(z1,1)T(z1,2)…T-1(zN-1, N-1)T(zN-1, N).
(20)
在海水与海底第1层分质分界面上，根据边界条件，平面波从水层入射到切变弹性海底的海底反射系数满足
(21)
第j层内压缩波Φj,1(z),Φj,2(z),切变波φj,1(z)，φj,2(z)可根据具体的声速分布求解(附录B提供了两种常用解). 对于第N层的无穷均匀介质(见图4)，压缩波势及切变波势ΦN,1(z),φN,2(z),φN,1(z)与φN,2(z)可取为与分别为第N层的压缩波与切变波波数). 则根据熄灭条件有AN2=0， BN2=0，将该条件代入(21)式，即可求得反射系数.
作为计算实例，表2给出了一种切变弹性海底的海底参数. 表中cpu, cpd， csu， csd分别指每层内上下边界处的压缩波声速，切变波声速，在每层内声速分布满足波数平方线性，ρ, ap与as是该层内的密度，压缩波衰减与切变波衰减. 图5给出了在图2(a)水文条件，表2的海底参数下，分别用BDRM与Krakenc计算的传播损失曲线及不考虑海底切变波计算的传播损失曲线. 从图可见，BDRM与Krakenc的计算结果符合很好，而忽略海底切变波会带来显著误差.
表2 切变海底参数a)
底层深度／m cpu cpd csu csd ρ ap as
0～30 1 650 1 690 350 380 1.6 0.545 0.545
30～∞ 1 690 1 690 380 380 1.8 1.09 1.09
a) 单位： 声速为m/s， 密度为g/cm3,吸收为dB／λ
图5 传播损失比较
声源50m，接收50m，频率200 Hz. (a) 切变弹性海底，本文理论与文献〔1〕理论计算的比较,
(b) 本文理论计算的切变与非切变弹性海底传播损失比较
图5(a)是BDRM与Krakenc计算的传播损失比较，两者十分符合，但Krakenc的计算时间约为BDRM的20倍. 图5(b)是用BDRM理论计算的计入与不计入海底切变波的传播损失比较，两者有显著差别，说明海底切变弹性的影响不可忽略.
4 浅海脉冲传播
负跃层浅海是夏、秋季节最为常见的一种海洋环境，声脉冲在这种海洋环境中传播具有非常规则的、稳定的梳状多途结构，该结构包含大量海洋环境的信息，而被应用到浅海海底参数反演、声源定位等多个领域. 1996年中美联合远黄海实验即观察到大量这种多途结构.
声源为f(t)的声信号在浅海中传播后的声场可表示为
(22)
其中F（ω)为f(t)的频谱，H(ω) 为声信道传输函数(即公式(1)表示的简谐点源声场).
如图2(a)的典型负跃层浅海水文，均匀海底的声速、密度与声吸收分别为1 628m/s，1.6g/cm3与1.09 dB／λ，我们分别利用MOATL〔3〕与BDRM计算了不同频率、不同带宽与不同收发深度的声脉冲信号，其中声源位置，接收器位置分别见图6. 声源是一个δ脉冲经过1 850～2 150 Hz带宽的4阶Butterworth滤波后的信号. 图中标出了BDRM计算的脉冲波形与相应的MOATL计算的脉冲波形的波形相关系数c，在频率为2 000 Hz时，BDRM计算速度比MOATL快一个数量级以上.
图6 BDRM与MOATL计算的脉冲波形的比较
距离 1.85 km, 频率1 850～2 150 Hz
图7(a)给出了1996年远黄海实验测量的海水声速分布，水深为76.29 m，海底密度为1.85 g/cm2，海底声速为1 597.7 m/s，吸收为0.788 3 dB/λ. 图7(b)，7(c)给出了利用BDRM计算的频率850～1 150 Hz的脉冲波形与实验测量的脉冲波形. 图7(b)与图7(c)的理论波形与实验波形的波形相关系数分别为0.92与0.88. 从图可见，理论计算波形与实验结果符合较好，BDRM可以较好地预报实际的浅海脉冲声传播.
图7 计算与实验波形比较
距离2.62 km，频率850～1 150 Hz
(a)声速剖面，(b)声源深度54.8 m，接收深度47.5 m的波形，(c)声源深度7 m，接收深度6 m的波形
从以上的叙述中，可以得出以下结论：
(1) 本文推导并讨论了在一般分层非均匀浅海环境下(包括切变弹性海底)的波束位移射线简正波理论.
(2) 比较了BDRM与Kraken, Krankenc, FEPE等声场计算方法的速度与精度. 计算结果表明，BDRM计算速度比较快、精度比较高，尤其对海底声速接近有效简正波相速的浅海声场计算比传统简正波方法的计算精度显著提高.
(3) 本文将BDRM理论运用到实验条件下的脉冲声传播，其计算结果与实验符合较好.
参考资料：http://www.wanfangdata.com.cn/qikan/periodical.Articles/zgkx-ca/zgkx99/zgkx9903/990308.htm