若直线L与椭圆C:x∧2/3+y∧2=1交于A，B两点，坐标原点O到直线L的距离为√3/2，求三角

Question

若直线L与椭圆C:x∧2/3+y∧2=1交于A，B两点，坐标原点O到直线L的距离为√3/2，求三角形AOB面积的最大值。

Answer 1

坐标原点O到直线L的距离为√3/2，
∴设L的方程为xcosa+ysina+√3/2=0，即y=-(xcosa+√3/2)/sina,
代入x^2/3+y^2=1得x^2*(sina)^2+3[x^2*(cosa)^2+√3xcosa+3/4)=3(sina)^2,
整理得[1+2(cosa)^2]x^2+3√3xcosa+3(cosa)^2-3/4=0,
△=27(cosa)^2-[1+2(cosa)^2][12(cosa)^2-3]
=-24(cosa)^4+21(cosa)^2+3,
|AB|=√{△[1+(cota)^2]}/[1+2(cosa)^2],设u=(cosa)^2,则0<=u<=1,
AB^2=(-24u^2+21u+3)/[(1-u)(1+2u)^2]
=3(1+8u)/(1+2u)^2,设v=2u+1/4,则v的值域是[1/4,9/4],
AB^2=12v/(3/4+v)^2=12/[(9/16)/v+v+3/2]<=12/[3/2+3/2]=4,
当v=3/4时取等号，
∴|AB|的最大值=2，
∴三角形AOB面积的最大值=√3/2.

Answer 2