正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.
【反推法】
为了叙述方便，我们把一个数学命题简单地表述为：若条件A成立，则结论B成立（记作）.
当命题的条件A与结论B之间关系比较复杂，直接从已知条件出发进行推证，有时中途会迷失方向，使推理难于进行下去，在这种情况下可以运用”执果索因”的反推法．所谓反推法，它是一种从结论入手考虑的证题方法．具体地说，就是先假设结论B成立，然后以结论作为条件看能逆推出什么结果.设由B能推出结论C（即），再检查B与C是否可逆（即是否又能由）.若可逆，即
，
接着再分析从C又能得出什么结果，若由C能得出结论D，且C与D可逆，即有.如此继续下去，若最后推出原命题的条件A或已知的结论，这样就完成了分析的过程，从而获得原命题的证明.这种情况通常称为逆证法，如果上述逆推程序进行到某一步骤时，譬如到结论D，发现由条件A能很容易推出结论D，这样也就完成了原命题的证明.
从方法上讲，反推法是一种等价变更问题的方法.在解题中运用反推法就是要不断地变换你所考虑的问题，使之变为一个容易的简单问题.
例 设，求证：x，y，z中至少有一个是1.
分析 能否把结论改写成一个等式，以便于通过代数变形来论证.
证 设X，Y，Z中至少有一个是1，这等价于
而最后一个等式正是已知条件，证毕.
【分析法】
有些命题（），特别是数字竞赛中的一些题，由于它们是把有些题目加以改造得出的，结论B较复杂，这时从原命题的结论B难于逆推，我们可以转而分析要得到结论B需要怎样的（充分）条件.假设若有条件C就有结论B，然后再分析在怎样的条件下能得到C.假设若有条件D就有结论C，D比B的形式简单一些，而且能完成由条件A推出D，这样就证明了原命题.这种证题的方法，一般称之为分析法.
下面对分析法作几点说明：
⑴在用分析法证题时，常使用短语“只需证明，…”来刻画，具体地说就是：因为D可推出B，所以欲由A推出B，只需证明由A推出D即可.
⑵反推法是把要证的结论作为推理的起点，以后每一步推理都可逆；而分析法是逐步分析命题结论成立的（充分）条件，在推理过程中，只要求前一步能推出后一步即可.因而，反推法是分析法的一种特殊情形，用反推法能证明的命题用分析法一定能证明.反之用分析法能证明的命题用反推法不一定能证.
例3 设a是任意正奇数，证明：一定存在整数x,y使得为a的倍数.
证 本题只需能找出两个整数x,y使是a的倍数即可.现在的困难是不能分解因式，为克服这一困难，我们可试设，于是
设，我们只要选取x,使是的倍数即可，为此，只需选取即可.事实上，当时，有
其中k为整数.这就是说，当时，是a的倍数.
例4 有一无穷小数A=0. 其中是数字，并且是奇数，是偶数，等于的个位数，等于的个位数，…，等于的个位数.求证：A是有理数.
证 为了证明小数A是有理数，只需证明A 是循环小数即可.
由无穷小数A的构成规律，它的每一位数字是由这个数字的前面两位数字决定的，因此，如果某两个数字ab重复出现，即若
A=0.，
此小数就是循环小数.
为此，注意到一个奇数与一个偶数之和的个位数是奇数，而两个奇数之和的个位数一定是偶数，再由题设条件，可知无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：
.奇偶奇奇偶奇奇偶奇…
现考虑非负有序数对，其中前一个数a为奇数字（即）,后一数b为偶数字（即）,这样的不同数对一共只有25种，那么2b个这样的数对中至少有两个是完全相同的.也就是说，在构成A的前2b个“奇偶奇”数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证明了A为有理数.
【反例】
要断定一个命题是错误的，只要举出一个满足命题的条件，但不符合命题的结论的例证就足够了，这个例子就叫做反例.
举反例也是属于一种逆向思维，近几年来在国内的数学竞赛中，常出现举反例的试题，特别是在用筛选法解选择题时，必须举出反例否定不正确的选择.
1．用二分法寻求反例
所谓“二分法”就是把满足题设的所有情况分为两类，使其中一类具有某种属性，而另一类不具有这种属性.如果第一类情况能使题断成立，则考察第二类情况，必要时，可运用二分法把第二类情况再分类进行考察，直至找出反例为止.
例5 设表示不超过X的最大整数，对任何实数，X，Y，总成立的关系是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
解 先考察关系（A），当X和Y都是整数时，显然（A）成立；当X，Y是非整数时，（A）有时不成立.例如
这就是否定（A）的正确性的反例.同时它也是断定（D）是错误命题的反例.
同样，对（B）有反例：
由于选择中只有一个是正确的，故应选（C）.
2．通过特殊的、极端的情况寻求反例
例6 是否存在这样的三角形，它的三条高都小于25px，而面积大于250000px.
解存在.满足要求的三角形一定是一个底边很长，高很小（小于1）的三角形，为了制造出这个三角形，先考察一个很狭长的矩形ABCD，其中AB=1，BC=50000，O是AC与BD的交点（如图1-3-1）这时，
且易知底边上及腰上的高OF及BE都小于1.
3．通过分析题设的数量关系寻求反例
例7 试求下列命题的反例：“设ABC三边的长分别是a，b，c，且
则三角形必是正三角形.”
解 依题设知即
所以
即 或
显然，以上各式均可逆推，当时，即有.这时，a，b满足题设而使题断不成立.于是很容易求出反例：，，时满足题设，即有但ABC不是正三角形.
【反证法】
在课本里已学习过用反证法证题，一般有下面三个步骤：
⑴反设──即假定待证结论不成立，也就是说肯定原结论的反面；
⑵归谬──把反设作为辅助条件，添加到假设中去，然后从这些条件出发，通过一系列正确的逻辑推理，最终得出矛盾；
⑶结论──由所得的矛盾，说明原命题成立.
有些命题其结论的反面可能有多种情况，则应将各种情况列举出来，并将它们一一驳倒，这样才能断定原结论正确.
反证法证题的特征是：通过导出矛盾，归结为谬误，使命题得证.因而反证法也叫归谬法.在用反证法证题时，首要的是正确地作出反设，当命题结论的反面非常明显且只有一种情形时，“反设”是比较容易作出的.但有些命题其结论的反面有多种情况或结论比较隐蔽，“反设”时必须认真分析，仔细推敲.此外，反证法所导出的矛盾是多种多样的.
1．导出与已知条件相矛盾的结果
例8 已知对于任意的正数P，方程
有且只有正实根，求证a=0
证 反设a≠0则有a>0或a<0两种情况.
（1）若，则二次函数的图象是开口向上的抛物线，y的最小值是
当P值增加时，抛物线沿Y轴方向向上平移.当P充分大时，，这时抛物线与X轴无交点，即方程无实根，与题设矛盾，所以a不能大于0.
（2）若，方程有一个根是
当P充分大时，（只要）有，从而，与题设矛盾.所以a不能小于0.
综上所述，只能有.
2．导出和已知定义、公理、定理等相矛盾的结果
例9 设A，B，C，D是平面上四点，其中任意三点不共线，求证：总能在其中选出三点，使这三点所组成的三角形至少有一个内角不大于45°.
证 能选出三点的反面是“找不出”三点；至少有一个反面是“一个也没有”；不大于45°的反面是“大于”45°.因此本题的反设应该是：这四点中任三点所构成的三角形的所有内角都大于45°.下面分两种情形来考虑：
（1）如图1-3-2，若A，B，C，D成凸四边形.这时，反设意味着∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8都大于45°，所以有
这与四边形内角和为360°相矛盾.
（2）如图1-3-3，若A，B，C，D成凹四边形，连结AC及BD，由反设，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6都大于45°，所以有
这与三角形内角和等于180°相矛盾.
综上讨论，命题得证.
3．导出自相矛盾的结果
例10 设a,b,c是整数，求证：的判别式不能为1990，1991.
证 （1）反设，于是b必是偶数（因为若b是奇数，则上式左边是奇数，而右边是偶数，得出矛盾），令，则
上式左边是4的倍数，而右边却不是4的倍数，产生矛盾.故不可能为1990.
（2）若，于是b必是奇数，令，则
上式左边被4除余1，而右边被4除余3，由此得出矛盾，故不可能为1991.
4．导出和“反设”相矛盾的结果
例11 求证：质数有无穷多个.
证 无穷的反面是有限，假设质数只有有限多个.比如n个，记作令
分两种情况讨论：
（1）若N是质数，显然，这与反设是全部质数相违.
（2）若N是合数，则N有质因数P.另一方面，由于N除以的余数为1，即不是N的质因数，于是，这又与反设矛盾.
综合（1）、（2）命题得证.
从上面几个例子可以看到，反证法的归谬过程是多种多样的，但只要由正确的推理导致出矛盾，命题的证明就完成了，这样，对于许多命题用直接法遇到困难，相比之下，用反证法往往显得较为方便，这恰恰是反证法的优越之处.