这么早就接触相对论了!鼓励一下!不过要真正理解还是有一定难度的,但可以先做初步的探索。以下给出一些基本的推导,供你在中学阶段做初步的理解,如果你能结合一些科普读物边阅读边逐步尝试自行推导演算体会,效果可能会不错;你提到的时间延缓的例子,在下面第5步上可以推出。
1.洛伦兹坐标变换式. S’系相对S系沿x轴正向以速度v运动,则有
x’=(x-vt)/√(1-v^2/c^2), y’=y, z’=z, t’=(t-vx/c^2)/√(1-v^2/c^2);
x=(x’+vt’)/√(1-v^2/c^2), y=y’, z=z’, t=(t’+vx’/c^2)/√(1-v^2/c^2);
分析:设两参照系x(x’)轴正向一致,原点重合时从重合的原点沿x(x’)轴正向发出一道光,它在两参照系的坐标分别为(x,y,z,t),(x’,y’,z’,t’),其中x=ct, x’=ct’, y=y’=0, z=z’=0。对各惯性参照系而言,时空是均匀的,因此S’系中的坐标x’与S系中的变动坐标x-vt具有线性关系,设为x’=k(x-vt),并且由于两参照系x(x’)轴正向一致,可知k>0;同理,根据狭义相对性原理,S系中的坐标x与S’系中的变动坐标x’+vt’具有同样的线性关系,即x=k(x’+vt’)。将x’=ct’=k(x-vt)=kx(1-v/c)代入x=k(x’+vt’)得:x=kx’(1+v/c)=x(1+v/c)(1-v/c)k^2,解得:k=1/√(1-v^2/c^2),从而导出洛伦兹坐标变换式。
2.爱因斯坦速度变换式. S’系相对S系沿x轴正向以速度v运动,一物体相对S(S')系以速度V(V')运动,则V与V'之间的速度变换关系与v和c有关,如下
分析:
V’(x’)=dx’/dt’=[(dx-vdt)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],
V’(y’)=dy’/dt’=dy/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],
V’(z’)=dz’/dt’=dz/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2];
V(x)=dx/dt=[(dx’+vdt’)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V’(x’)+v]/[1+vV’(x’)/c^2],
V(y)=dy/dt=dy’/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y’)√(1-v^2/c^2)/[1+vV’(x’)/c^2],
V(z)=dz/dt=dz’/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z’)√(1-v^2/c^2)/[1+vV’(x’)/c^2].
以上用到微积分中的求导,不用求导的推导如下:
V'(x')=(x2'-x1')/(t2'-t1')
=[(x2-x1-vt2+vt1)/√(1-v^2/c^2)]/[(t2-t1-vx2/c^2+vx1/c^2)/√(1-v^2/c^2)]
=[(x2-x1)/(t2-t1)-v]/[1-v(x2-x1)/(t2-t1)c^2]
=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],
V'(y')=(y2'-y1')/(t2'-t1')
=(y2-y1)/[(t2-t1-vx2/c^2+vx1/c^2)/√(1-v^2/c^2)]
=(y2-y1)/(t2-t1)*√(1-v^2/c^2)/[1-v(x2-x1)/(t2-t1)c^2]
=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],
其他类似。
3. 同时的相对性. 在S'系中不同位置的同一时刻t'=t'(1)=t'(2)在S系中是不同时的.
分析:t(1)=[t'(1)+vx'(1)/c^2]/√(1-v^2/c^2),t(2)=[t'(2)+vx'(2)/c^2]/√(1-v^2/c^2),由于x'(2)与x'(1)不等,故t(1)与t(2)也不等;t(2)-t(1)= v[x'(2)-x'(1)/c^2]/√(1-v^2/c^2).
4. 长度收缩效应. L'=L*√(1-v^2/c^2).
分析:设有一刚性杆沿x轴静止放置在S系中,两个端点的空间坐标分别为x(1)和x(2),则杆在S系中的长度为 L=x(2)-x(1),但从与杆有相对运动v的参照系S'中测得的长度L'=x'(2)-x'(1) 则会收缩到“固有长度”的√(1-v^2/c^2)倍,这是因为根据相对论的洛仑兹坐标变换,在S'系中测得的杆的两个端点在同一时刻t'的位置坐标x'(1)和x'(2)与S系中的坐标x(1)和x(2)有如下关系:
x(1)=[x'(1)+vt']/√(1-v^2/c^2),
x(2)=[x'(2)+vt']/√(1-v^2/c^2),
于是
L=x(2)-x(1)=[x'(2)+vt']/√(1-v^2/c^2)-[x'(1)+vt']/√(1-v^2/c^2)
=[x'(2)-x'(1)]/√(1-v^2/c^2)=L'/√(1-v^2/c^2),
即 L'=L*√(1-v^2/c^2).
5. 时间延缓效应. t’=t/√(1-v^2/c^2).
分析:设在S系中的同一地点先后发生两个事件,其时空坐标分别为(x,y,z,t1),(x,y,z,t2),在S系中的固有时间间隔为t=t2-t1,在S’系中测得这两事件发生在不同地点不同时间,时间分别为t1’=(t1-vx/c^2)/√(1-v^2/c^2),t2’=(t2-vx/c^2)/√(1-v^2/c^2),时间间隔为t’=t2’-t1’=(t2-t1)/√(1-v^2/c^2)=t/√(1-v^2/c^2).
据此看宇宙飞船的例子,即在飞船上先后发生两个事件,其时空坐标分别为(x,y,z,t1),(x,y,z,t2),在飞船中的固有时间间隔为t=t2-t1,在地面将测得这两事件发生在不同地点不同时间,时间分别为t1’=(t1-vx/c^2)/√(1-v^2/c^2),t2’=(t2-vx/c^2)/√(1-v^2/c^2),时间间隔为t’=t2’-t1’=(t2-t1)/√(1-v^2/c^2)=t/√(1-v^2/c^2).
当t'=1秒时,t=t'√(1-v^2/c^2)=√(1-v^2/c^2)秒. .
6. 质速关系. m=m0/√(1-v^2/c^2)
分析:S’系(其中静止一小球a’,质量m0)相对S系(其中静止一小球a,质量m0)沿x轴正向以速度v运动,设a’相对S系的质量为m,根据系统的对称性,a相对S’系的质量也为m;假设两小球碰撞后合为一体,相对S’系速度为u’,相对S系速度为u,在两参照系中动量守恒定律都成立,S系:mv=(m+m0)u,S’系:-mv=(m+m0)u’。由速度合成公式,u’=(u-v)/(1-uv/c^2),而根据系统的对称性,u’=-u,可得:(v/u)^2-2v/u+(v/c)^2=0,解得:v/u=1±√(1-v^2/c^2),由于v>u,故取v/u=1+√(1-v^2/c^2)。所以m=m0/(v/u-1)=m0/√(1-v^2/c^2).
7. 质能关系. E=mc^2
分析:可以借助功能原理、动量定理和质速关系用微积分推导:
dE/dt=Fv=vd(mv)/dt=mvdv/dt+v^2dm/dt
dE=mvdv+v^2dm
=m0vdv/sqrt(1-v^2/c^2)+m0v^2d[1/sqrt(1-v^2/c^2)]
=m0vdv/sqrt(1-v^2/c^2)+m0v^3*(1-v^2/c^2)^(-3/2)dv/c^2
=m0c^2d[1/sqrt(1-v^2/c^2)]
积分得:
E-Eo=m0c^2[1/sqrt(1-v^2/c^2)-1]=mc^2-m0c^2
比较可得:
E=mc^2
Eo=m0c^2.
8. 能量动量关系. E^2=(pc)^2+Eo^2
分析:(pc)^2+Eo^2=(m0vc/√(1-v^2/c^2))^2+(m0c^2)^2=(m0c)^2[v^2/(1-v^2/c^2)+c^2]=[m0c^2/√(1-v^2/c^2)]^2=E^2.
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