二次求导的用法与意义最好找个例题谢谢

Question

如题所述

Answer 1

我们都知道，通过导数可以判断原函数的单调性。如果导数大于零，原函数是增函数；如果导数小于零，原函数是减函数。在求出导数之后，如果再对导数进行求导，即求二阶导数，可以用它来判断函数的凹凸性和拐点。下面，我们通过一个高考题目来具体看看二次求导在实际中的应用。
【例题】已知函数 f(x)。
（Ⅰ）若 f'(x) = x^3 - 3x + 2，求 f(x) 的取值范围；
（Ⅱ）证明：当 x > 1 时，f(x) > 0。
【解答】
（Ⅰ）首先，由 f'(x) = x^3 - 3x + 2，我们可以求出 f''(x) = 3x^2 - 3。
观察 f''(x)，当 x -1 或 x > 1 时，f''(x) > 0，说明 f(x) 在这些区间上是凹的（即向上凸）。
当 -1 < x < 1 时，f''(x) < 0，说明 f(x) 在这个区间上是凹的（即向下凸）。
因此，f(x) 在 x = -1 处取得极小值，f(x) 在 x = 1 处取得极大值。
计算得 f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4，
f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0。
所以，f(x) 的取值范围是 f(x) ≥ 4 或 f(x) ≤ 0。
（Ⅱ）要证明当 x > 1 时，f(x) > 0，我们可以利用 f''(x) 的符号来分析。
由 f''(x) = 3x^2 - 3，我们知道当 x > 1 时，f''(x) > 0，这意味着 f(x) 在 x > 1 的区间上是凹的，且没有拐点。
因为 f(x) 在 x = 1 处取得极大值，所以在 x > 1 的区间上，f(x) 始终保持大于该极大值，即 f(x) > 0。
通过这个例子，我们可以看到二次求导在分析函数性质时的作用。它帮助我们确定了函数的凹凸性和拐点，从而对函数的整体行为有了更深入的理解。