在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求证：BC⊥平面PBD；（3）已知在侧棱PC上存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为45°，求PQPC．

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推荐答案推荐于2016-07-26

解：（1）取PD的中点F，连结EF，AF，
因为E为PC中点，所以EF∥CD，
且EF＝

CD＝1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
所以EF∥AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF，
BE?平面PAD，AF?平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（2）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），

＝(1，1，0)，

＝(?1，1，0)．
所以

＝0，BC⊥DB，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
所以BC⊥平面PBD．
（3）平面PBD的法向量为

＝(?1，1，0)，

＝(0，2，?1)，

＝λ

，λ∈(0，1)，
所以

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