数学题 （1）设0<q<1,sn=1+q+q^2+……+q^n,求证：lim(n趋近无穷大）sn=1/(1-q)

Question

（1）设0<q<1,sn=1+q+q^2+……+q^n,求证：lim(n趋近无穷大）sn=1/(1-q)
(2)直观判定变量y=x(x-1)(x+1)^(1/2)/(x^3-1),当x趋近多少时，是无穷小
（3）求极限lim(x趋近无穷大）x^(1/2)((x+2)^(1/2)-2(x+1)^(1/2)+x^(1/2))

Answer 1

1）sn *(1-q)= (1 - q ^ n)，
sn = (1 - q ^ n)/(1 - q)而lim q ^ n = 0（n -> 无穷）所以lim sn = 1/(1 - q)
2）y=x(x-1)(x+1)^(1/2)/(x^3-1)
=x(x+1)^(1/2)/(x^2+x+1)=(x+1)^(1/2)/(x+1+1/x)
只考虑x,y是实数,分子x 的次数低于分母x的次数，所以当x趋于无穷大时y~1/(x+1)^(1/2)是无穷小。
x-->0, y~1/(1+1/x)是无穷小
x>-1,x-->-1,y~(x+1)^(1/2)/(-1)是无穷小
3)
极限lim(x趋近无穷大）x^(1/2)((x+2)^(1/2)-2(x+1)^(1/2)+x^(1/2))
=极限lim(x趋近无穷大）(x^2+2x)^(1/2)-2(x^2+x)^(1/2)+x
~极限lim(x趋近无穷大）(x^2)^(1/2)-2(x^2)^(1/2)+x=0

Answer 2

1)首先用等比求出sn = (1 - q ^ n)/(1 - q), lim(n趋近无穷大）q ^ n=0，所以lim sn = 1/(1 - q)
2)分子x 的次数低于分母x的次数，所以当x趋于无穷大时y是无穷小;另外当分子为零时,也是无穷小,即x趋近0 和x趋近-1时,注意x趋近1时,分母也是零,所以是无穷大.故这题当x趋近正负无穷,0，-1时都是无穷小
3)三次使用分子有理化,再取极限,可得极限等于0

Answer 3

1）易求出sn = (1 - q ^ n)/(1 - q)，而lim q ^ n = 0（n -> 无穷）所以lim sn = 1/(1 - q)
2）分子x 的次数低于分母x的次数，所以当x趋于无穷大时y是无穷小。证明也很容易，把分子分母同除x^3
3）0本回答被网友采纳

Answer 4

等于 “1”

Answer 5

sn=1/(1-q)