任何一个有理数都有它的相反数对吗

Question

如题所述

Answer 1

任何一个有理数都有它的相反数对吗？这一说法是正确的。

"任何一个有理数都有它的相反数" 这一命题是数学中的一个基本概念，具有广泛的应用和重要性。在数学中，有理数包括整数、分数和小数，而相反数则是一个有理数的负值，通常用来表示与原数在数轴上相对称的数。

有理数是可以表示为两个整数的比例的数，其中一个整数是分子，另一个整数是分母（分母不为零）。有理数可以用分数形式表示，例如，1/2、-3/4、5/1等都是有理数的示例。整数也是有理数的特殊情况，可以表示为分母为1的分数。

相反数是与给定有理数在数轴上关于零点对称的数。换句话说，如果有理数是a，它的相反数是-b，其中b是正整数a的绝对值。

例如，如果a=3，那么它的相反数是-3；如果a=-2/5，那么它的相反数是2/5；如果a=0，那么它的相反数仍然是0。

证明"任何一个有理数都有它的相反数"的方法：

步骤1：基础情况（基础步骤）

首先，我们证明对于最简单的有理数，即整数，这一命题成立。对于任何整数a，它的相反数是-a。例如，如果a=3，那么-a=-3，它是3的相反数。

步骤2：归纳假设

我们假设对于任何有理数k，它都有一个相反数-k，其中k可以是一个整数，分数或小数。

步骤3：归纳步骤

现在，我们来证明对于k的下一个有理数k+1，也存在相反数-(k+1)。我们可以通过以下方式进行证明：

如果k是一个整数，那么k+1也是整数，它的相反数是-(k+1)。

如果k是一个分数，那么k+1也是分数，它的相反数是-(k+1)。

如果k是一个小数，那么k+1也是小数，它的相反数是-(k+1)。

无论k是什么类型的有理数，k+1也是有理数，因此根据归纳假设，k+1也有一个相反数-(k+1)。