突变理论简介

Question

如题所述

Answer 1

1958年国际菲尔兹（Fields）数学奖获得者、法国巴黎高级科学院数学教授雷内托姆（Rene.Thom，1923～2002）博士，在总结和继承前人研究的基础上，1968年发表了有关突变理论的论文《生物学中的拓扑模型》，于1972 年又出版了突变理论的第一本专著《稳定性结构与形态发生学》。该书用拓扑学、奇点和稳定性的数学理论来研究自然界和社会现象中的各种形态、结构的非连续性突变，系统地阐述了突变的理论，从而奠定了突变理论的基础，这标志着突变理论的正式诞生。以后十多年，经过英国数学家、英国瓦维克（Warwick）大学数学研究所所长、皇家学会会员齐曼（E.C.Zeeman）教授等人从理论到实际应用方面的大力改进和完善，使突变理论从理论到实际应用方面的研究有了全面的进展。突变理论成为数学中最年轻的分支之一，引起了国际数学家、哲学家、生物学家和社会科学家的广泛关注。

事物从状态的一种形式突然地跳跃到根本不同的另一种形式的不连续变化，包含着突然变化的瞬间过程，称为突变（Catastrophe）。突变理论以不连续现象为研究对象，运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究某种系统（过程）从一种稳定状态到另一种稳定状态的跃迁。突变理论用一组参数描述系统所处的状态，当系统处于稳定状态时，表明该系统状态的某个函数取一定的值（如能量取极小或熵取极大等）。当参数在某个范围内变化，函数值有不止一个极值时，系统必然处于不稳定状态，若参数略作变化，就能使处于不稳定状态的系统进入另一稳定状态，就是在这一刹那状态发生了突变。

参数空间的一个点可以对应系统多重定态解（有渐进稳定的，也有不稳定的）。只有多重定态解存在，系统才有可能在渐进稳定的定态解之间跃迁，才会出现突变，而多重定态解的存在来自非线性，所以突变只有在具有非线性的复杂系统中才会发生。

突变现象把系统的状态空间变成不可微分的，因此对突变现象的描述和解释，传统的微积分方法无能为力。突变理论是突变现象的数学模型，是关于奇点的理论，它的一个重要特点是研究自然界和社会领域内的不连续变化的突变现象，说明现实事物，并对事物未来的突变进行预测，控制突变的发生。

突变理论除研究系统动态稳定性问题外，还研究系统的结构稳定性问题，并指出系统稳定要同时满足动力系统稳定和结构稳定性，因此，可以通过改变系统结构来控制系统的稳定性。

（1）突变理论与突变

每一自然过程都有其稳定态与非稳定态之分。稳定态的特征是在各种微小涨落的作用下，仍能保持原来的状态。一旦受到小的扰动即迅速改变原来的状态，则属于非稳定态。从非稳定态向稳定态变化，是自然过程的运动趋势；而由稳定态向非稳定态变化则需要外界做功。

突变理论中所指的稳定态与非稳定态是相对一定的控制条件而言的。在外部力的控制下，系统的稳定态与非稳定态之间是可以自由转换的。若系统的初始状态为稳定态，在连续控制力或构造力的作用下，系统的状态也发生一定的转变。当控制因素达到一定的极限（临界值）时，系统的状态也达到了稳定与非稳定的临界状态。这时，尽管不再变动控制因素，系统的状态仍会迅速地远离临界面，跳跃或快速地变化到另一新的稳定态，这即为突变。突变并不是发生在控制因素达到临界值时，而是发生在临界值之后的某一等待时间段内。突变的类型可包括跳跃式非连续变化和渐进式连续变化，两者的差别表现在前者发生的过程非常快速，以至于难以发现突变的过程，而后者有一短暂的持续时间。

（2）突变理论的发展及突变特征的描述

突变理论是研究不连续现象的一个新兴数学分支，它是在系统结构稳定性理论、拓扑学和奇点理论等基础上发展起来的。用微分方程模型来描述自然现象，在许多学科领域中固然取得了巨大的成功，但微分方程只适宜描述连续变化现象，不适宜描述不连续现象，即突变现象。突变理论用拓扑面在三维空间中的位置作为突变过程的模型。

自然界中许多有趣的现象都涉及不连续性。这种不连续性可以体现在时间上，如波的破碎、细胞的分裂或者桥梁的倒塌；也可以体现在空间上，如物体的边界或两种生物组织之间的界面。然而应用数学家可利用的绝大多数技巧是设计应用于对连续性作定量研究的。这些方法主要以微积分学为基础，不过自从牛顿和莱布尼茨时代以来已有了很大的精炼和扩展，从而使人们对自然界的认识能够获得极大的进步。

我们知道凡是被认为属于复杂性的事物，都具有突变的特征。突变在这里有两方面的含义：其一是指，复杂性事物整体或某一层次整体上的涌现属性；其二是指，复杂性事物内部，或某个层次内部各个可分解部分的突发性变化。只要我们研究对象的属性涉及不同物质层次之间的共同变化，突变特征即刻就显露出来。新产生出来的那些属性，无论是从系统的较高层次，还是较低层次角度去考察，其结果都表现为突变。

突然出现的性状似乎没有任何准备阶段，难得找出某一些变化是与其当时当地生活环境直接联系在一起的。而突变理论所研究的正是这一现象所体现出来的问题。突变以十分显著的两大特点——完全由内部因素推动及变化的跳跃性，表明了唯有突变才是真正的质变。研究突变理论可以发现，在达到临界点之后无论控制因素变与不变，都不能对突变过程发生影响，突变过程都只由内因决定。

（3）突变理论的两个假定

突变理论解释突变现象以下面的两个假定为前提：

1）假定系统在任何时刻的状态都可以完全由给定的n个变量（x₁，x₂，…，x_n）的值来确定。n是有限的，但可以很大。（x₁，x₂，…，x_n）称为系统的状态变量或内部变量。同时，假定系统受m个独立变量（u₁，u₂，…，u_m）的控制，即这些变量的值决定了x_i（i＝1，2，…，n）的值。（u_l，u₂，…，u_m）称为系统的控制变量或外部变量。

2）假定系统的动力学模型可由一个光滑的势导出。光滑的势通过稳定常状态的消失而造成动力学的不连续形态。

基于上述假定，突变理论认为：可能出现的性质不同、不连续构造的数目并不取决于状态变量的数目（可能很大），而取决于控制变量的数目（一般很小）。特别是如果控制变量的数目不大于4，那么只有7种不同类型的突变，而且其中没有一种牵涉两个以上的状态变量。

（4）奇点理论、平衡曲面和分支点集

马克思曾说过：“任何一门科学只有在充分地运用数学的时候才算达到了真正完善的地步”。突变理论的数学基础是相当宽厚的，有些内容还很坚深，涉及现代数学中的群论、流形、映射的奇点理论，特别是拓扑学方法。下面我们简要介绍一些突变理论的数学基础。

英国数学家桑德斯（P.T.Saunders）指出：“作为数学的一部分，突变理论是关于奇点的理论”。什么是奇点？所谓奇点是相对于正则点而言的，一般说来，正则点是大量的，而奇点则是个别的。正因为奇点奇特个别，它才在数学中占有突出的地位。

突变理论的主要之点在于考察某种系统或过程从一种稳定态到另一种稳定态的跃迁，什么叫稳定态？所谓稳定，是指系统或过程某一状态的持续出现，外界干扰可能使系统偏离某一状态，产生不稳定，而干扰消除时又恢复原态，继续出现稳定。因此，稳定性不仅指事物不变，而且还指事物有一定的抗干扰能力，或者说当干扰使事物偏离稳定态时，事物能依靠某种作用回到稳定态，不倒翁的直立状态就是一个稳定态，不论干扰从哪个方向使它发生偏离，它都能回到直立状态。

我们知道，一个系统所处的状态可以用一组参数来描述，当系统处于稳定态时，标志该系统状态的某个函数取唯一的极值（如能量取极小，熵取极大等等），当参数在某个范围内变化，该函数有不止一个极值时，那么该系统必定处于不稳定状态，所以，从数学的角度考察一个系统是否稳定，常常要求某函数的极值。而求极值必先求函数的导数为零的点。使导数值为零的点就是最简单的奇点，或称为临界点。如果设函数为F_uv（x），其中u，v为参数，那么，求函数F_uv（x）的临界点就是求微分方程的解，当给定u，v的值时，

就可得到一个或几个临界点x，因此，临界点x可以看作是参数u，v的单值或多值函数，把这个函数记为x＝l（u，v），显然，这样的函数，在几何上可以确定一个三维欧氏空间，即（x，u，v）中的一个曲面，也就是临界点的集合，称此曲面为临界曲面，使函数取极值的点叫稳定点，临界点不一定是稳定点，所以临界点可能使系统稳定或不稳定。

若系统的状态可用m个参数，n个变量，x₁，x₂，…，x_n的函数

（x₁，x₂，…，x_n）来刻画，则问题要复杂得多。因为变量不止一个，求多元函数的极值要用偏导数，不能只解一个方程

，而要解一个偏微分方程组，即临界点是满足偏微分方程组

耗散结构、自组织、突变理论与地球科学

或简写为

和Δ≡det｛H（v）｝的点，其中

，仅就x而言，det代表行列式（determinant），H（v）是v的海赛（Hessen）矩阵，所谓海赛矩阵就是以下的二阶偏导数矩阵：

耗散结构、自组织、突变理论与地球科学

不过这时临界点所构成的临界曲面是n＋m维空间中的高维曲面，图形画不出来，光凭直观简直无法想像。然而托姆对高维曲面的拓扑性质有精辟的见解，因此这一困难被托姆解决了，找出了它们的标准式，这就是著名的托姆分类定理。

在突变理论中，我们把可能出现突变的那些量称为状态变量或内部变量，而把引起突变的原因、连续变化的因素称为控制变量或外部变量。如在水由液体转化为气体的相变模型（称为气-液相变模型）中，温度T和压强P是引起水突变原因的连续变量，故为控制变量，水的密度则为水的沸腾过程的状态变量，密度高的状态对应着液态，密度低的状态代表着气态。

假定系统在任何时刻的状态都可以完全由给定n个状态变量（x₁，x₂，…，x_n）的值来确定，这里n是有限的，但可以很大；同时还假定系统受m个独立变量（u_l，u₂，…，u_m）的控制，即这些变量的值决定了x_i的值，但并不完全唯一，我们假定m比较小，通常不大于5。

设系统的动力学可由一个光滑的势函数导出，又设给出势函数V，用方程

定义其平衡曲面M，其中下标x表示梯度仅就变量x而言。这个曲面M由V的全部临界点构成，即由系统的全部平衡点（稳定的或其他的）构成，可以通过数学方法证明M是一个流形，即是一个性态很好的光滑曲面。定义奇点集S是由V的全部退化临界点组成的M的一个子集。这些就是满足

和Δ≡det｛H（v）｝＝0的点。S在控制空间C中的投影称为分支点集。求分支点集的方法，可通过由S的定义方程消去全部状态变量的方法而得到，分支点集是C中所有使V的形式发生变化的点的集合。