高等数学证明用收敛准则证明数列有极限

Question

如题，最好手写详细，不胜感激。第
5大题1小题

Answer 1

1. 为证极限存在，只需证明数列{xn}单调增加且有上界。
① 显然 X2＝√(2√2)＞√2＝X1，假设Xk＞Xk-1.则有
Xk+1＝√(2Xk)＞√(2Xk-1)＝Xk.
根据归纳法，对一切正整数n，都有Xn+1＞Xn.即数列{Xn}单调增加。
②显然X1＜2.假设Xk＜2.则有
Xk+1＝√(2Xk)＜√(2×2)＝2.
根据归纳法，对一切正整数n，都有Xn＜2.即数列{Xn}有上界。
因此，数列{Xn}收敛。
2.设lim(n趋于无穷)Xn＝L.则limXn+1＝L.在
Xn+1＝√(2Xn)两边取极限，得L＝√(2L).即
L^2-2L＝0. ∴L＝0（不合题意，舍去）或L＝2.
因此，lim(n趋于无穷)Xn＝2.

Answer 2

用数学归纳法证明对任意n，xn小于2，xn大于0.再用数学归纳法证明对任意n，Xn+1大于Xn（Xn+1/Xn＞1），由单调递增有上界数列必收敛，可知数列有极限，设为a。解方程a=√2a，解得a=2