怎么理解导数的概念？

Question

如题所述

Answer 1

首先假设已经知道极限的概念，知道函数的极限的概念，知道函数连续的概念。
函数在某点的导数的定义：首先要求函数在该点连续，简单点就是
如果函数值的变化量/自变量的变化量，在自变量趋于0的情况下有极限，
则称这个函数在这个点可导，这个极限就叫做函数在该点的导数。

如果函数在某个区间内的每个点可导，则称函数在这个区间内可导。
若将所有点对应的导数作为函数值，组成一个新的函数，这个函数叫做原函数的导函数。

值得注意的是，并不一定所有函数，在所有地方都可导。

导数其几何、物理意义是：
几何：函数在某点的“斜率”，斜率一般是指直线。如果曲线的话，需要配合极限的概念来理解斜率。
物理意义：比如位移的导函数的意义就是速度，速度的导函数的意义是加速度。

这只是简要介绍了导数的概念而已，前奏和后续的讨论相对于高中学生来说比较复杂，比较缜密。
现在高中也要求学习导数了吗？加速度是速度的一阶导数，是位移的二阶导数，高阶导数就复杂了。

Answer 2

导数是微积分中的重要概念。编辑本段　　导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
　　导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
　　y=f(x)的导数有时也记作y'，即 f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
　　以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
　　注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
　　2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。 求导数的方法编辑本段　　（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
　　 　① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
　　② 求平均变化率
　　③ 取极限，得导数。
　　
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