平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。
抛物线y = ax^2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形,它的对称轴是直线x = - b/ 2a ,它的顶点在对称轴上。
抛物线的性质:1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ([-b/2a ,(4ac-b²)/4a ]
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0,则a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0,则a、b要异号
事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到(y‘=2ax+b,当x=0时切线斜线k=b)。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b∧2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b∧2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b∧2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b²-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)