1、设A是4阶矩阵，特征值为1,2，-2,3，求det(A^3-2A^2-2A-3E) 2、二次型f（X1，X2，X3）=(X^T)AX，经正交

1、设A是4阶矩阵，特征值为1,2，-2,3，求det(A^3-2A^2-2A-3E)
2、二次型f（X1，X2，X3）=(X^T)AX，经正交线性替换X=QY后，变为2Y1^2+2Y2^2-Y3^2，且Q的最后一列是3^-0.5，3^-0.5，3^-0.5。求正交线性替换X=QY；求二次型f（X1，X2，X3）=(X^T)AX；问上述所求二次型是否唯一，为什么。
3、若A为n阶方阵且r（A)=n-2,则r（A*）=

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推荐答案 2011-01-16

第1题有意思, 答案是 det(A^3-2A^2-2A-3E) = 0.
因为A有特征值3, 所以 (A^3-2A^2-2A-3E) 有特征值 3^3-2*3^2-2*3-3 = 0. 而一个方阵的行列式等于它的所有特征值之积, 故结论是0.

第3题是一个知识点. 当 r(A)= n时, r(A*)=n;; 当r(A) = n-1 时, r(A*) = 1;; 当r(A) <n-1时, r(A*) = 0
故结论是 r(A*) = 0.

第2题问题可转换一下: 已知3阶实对称矩阵A的的特征值为 2, 2, -1, 且A的属于特征值 -1 的特征向量是(3^-0.5，3^-0.5，3^-0.5), 求正交矩阵Q, 使Q^(-1)AQ = diag{2,2,-1). 并由此求出A.
方法是: 由属于特征值2的2个线性无关的特征向量与 -1 的特征向量正交, 得出特征值2的2个特征向量, 将其正交化,单位化, 与-1的那个特征向量一起, 就构成了正交矩阵Q.
A = Q diag{2,2,-1) Q^T .
思路是这样, 这是个固定的程式, 若有问题请消息我.

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其他回答

第1个回答 2011-01-16

既然A有4个不同特征值，那么A相似于对角形J，对角元素为特征值，用J代入1中的式子求行列式就可以了
第二道有些麻烦，懒得查书了
A* 什么啊？A的伴随阵？

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