由于置换P是被均匀地随机选取的，所以矩阵(X_{i,j})和(X_{i,j})的转置是同分布的。从而，我们知道Z的期望是1/2倍的(X_{i,j})中的上下两个三角阵（都不含对角线）的元素求和的期望。而由于置换的性质，(X_{i,j})的对角线上元素肯定都是0。所以Z的期望是1/2倍的(X_{i,j})中所有元素求和的期望。
由于置换的性质，无论是什么置换P，其对应的矩阵(X_{i,j})中所有元素求和是n(n-1)/2（从而(X_{i,j})中所有元素求和的期望也是n(n-1)/2），所以Z的期望是n(n-1)/4。
我觉得这个题的第一问可以这么思考：尝试先把n=2的情形列出来（其实就写两个(X_{i,j})矩阵）。如果没有头绪，可以尝试n=3（6个矩阵）。追问
谢谢，很棒的想法，矩阵角度直接给我点醒了。
请问可以帮我看看第二问嘛，感觉这个条件好像没有意义。
一.综述
计数原理和概率统计是高考中非常重要的内容,在近几年的高考中色彩越来越浓,难度越来越大.此外，在文科和理科的试卷中，这部分内容也是区别最大的（没有之一），所以文科生和理科生要清楚自己复习的边界在哪里，不要超出考试范围.
本部分在高考中的出题频率基本是2道选填题，1道解答题，分数在22分.也有少数年份是1个选填题，1道解答题的情况，分值在17分.从题目难度上来看，选填的属于基础题，不涉及新颖的概念和解题技巧，就考查基本的知识点的理解和应用.然而，近几年在解答题部分新意不断，屡屡挑战考生承受能力上限，所以要特别重视在解答题的积累和沉淀.
二.近3年考查内容分析
1.本部分的考点结构导图
我们先看下面的知识结构导图，可以对这部分的内容一目了然.由于文理科考查内容存在显出不同，所以只有理科学习的内容，后面标注（理科），以示区别.
从知识点结构导图中不难发现，理科的考查范围要比文科多不少.文理科在统计部分的要求是一样的.但是文科不考查排列组合，在求解概率的题目中只要求使用列举法求解.理科则需要比文科多掌握排列组合，随机变量的分布、期望、方差，以及正态分布等内容.
2.本部分在高考卷中的考点分布
从上面两个表格中不难发现，近几年统计的考查频率越来越高，尤其是用样本估计总体这部分成为出题频率最高的.前几年出题比较多的几何概型、随机抽样逐渐成为轮考点，出题频率很低.同时观察具体的试题还能发现，文科更加偏向决策型考题，理科更加侧重综合性考题.
三.命题分析与趋势研究
全国卷在近3年考试中保持稳中有变，局部创新的原则，研究题目变化的轨迹，不难发现有如下4个特点非常明显，值得广大教师和考生参考.
1.考题分值稳定，轮考点明显
从分值上来看，理科基本保持了每张试卷3道题目的分量，及2道小题1道大题，分值在22分.文科情况稍微复杂点，2017年和2018年总体出题7道题，2019年总体出题8道，总体上也呈现出分值增加的趋势.
考点出题比例区分明显，比如理科在随机抽样连续三年没有直接出过考题，概率的性质、古典概型、几何概型成为间断性出题的轮考点.文科与此类似，概率的性质、几何概型成为明显的轮考点.
与此相对的，是几乎每年出题必考的知识点，也叫必考点，就成了同学们复习的重点内容.
2. 全国1,2,3卷风格差异明显，热门考点不同
全国1卷、2卷、3卷一直以来，在出题风格和选题偏好上都存在一定的差异.这是每一位教师和研究者要注意的地方.
以理科试卷为例，全国3卷连续三年考查二项式定理，但是全国2卷近3年从来没有考过.全国1卷只有2017年考过一次.
而在文科试卷中，全国2卷连续三年考查古典概型求概率，全国1卷则从来没有出过相关题目，全国3卷则做为轮考点只在2019年考查过.
所以考生在复习的时候一定要注意自己对应的试卷出题偏好，连续多年出题的考点，一定要倍加注意，多练习.而对于近几年出题比较少的考点，我们成为轮考点，要注重其基础理论，不能太久不复习就忘了基本的概念和基本的题型，但是不需要作为重点来复习.换句话说，大家可能在复习过程中会对所有基础知识点都做了复习，但是心里一定要清楚哪些是更容易出题的.
全国1卷，2卷，3卷在出题偏好上所体现的差异化，也为高考预测带来巨大的参考价值，所以《黄金预测卷》历来主张分考区预测，原因也就在这里.
3.统计内容成为考试重点
统计正成为近几年高考的热点，出题比例逐年增加.文科试卷在用样本估计总体这个考点上出题的频率分别是：2017年2道、2018年2道、2019年4道.理科在这个考点上出题的频率是：2017年1道、2018年1道、2019年4道.
出现这种趋势是势在必行的.一方面，由于近几年信息技术的迅猛发展，大数据和人工智能渗透到社会的每一个领域，成为人们不可或缺的实用技术，而这背后正是对数据收集和分析的结果.另一方面，从2017年开始实行的新课程标准明确将数据分析和处理能力作为数学的核心素养之一，所以就一定会在高考中体现出来.
可以预见，2020年的高考一定会继续重视数据的分析和处理能力，所以统计部分尤其是用样本估计总体依然是出题的热门.
4.解答题会继续强化理论联系实际的趋势，要求学生具有很强的解决问题的能力.
新课程标准要求学生具有一定数学建模能力，也就是能在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解模型、检验结果、改进模型；能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题.
基于此要求，概率统计在出题背景上，尤其是解答题的出题背景与生活实际的结合越来越紧密，出题风格逐步从过去几年模式化向近几年的实际化转变.这些变化体现在如下几个方面：
第一，文科在解答题中偏向于通过分析数据，进而对现实问题作出判断.比如2018年全国2卷18题：
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
这个题目通过两个回归直线模型，考查学生对回归直线方程适用范围的理解，很多学生感到闻所未闻，无从下手.实际上，这些新变化并非生搬硬造，而是基于教材中的理论，结合实际产生的.所以非常好的体现了用理论解决实际问题的方法论.在人教版教材中（如A版教材选修1-2P7）就对回归方程的适用条件作出了详细的说明.考生在复习的时候要多看看教材，读懂这些细节.
第二，理科更注重概率与其他知识点的结合，体现概率统计的应用价值.概率综合问题主要是体现在概率与函数的综合、概率与数列的综合（尤其是递推数列），题目难度相对会较大，题目一般也会相对靠后.
比如2018年全国1卷理科20题：
这个题目将概率与函数相结合，第一问利用函数思想求解极值点，第二问则是利用期望作为判断依据，对问题做出判断.值得注意的是，在决策类问题中，多数都是以期望作为判断依据，很少有利用概率和方差作为依据，再解题的时候要根据题目的实际情况来处理.
再比如2019年全国1卷理科21题：
这个题目以医疗科学为背景，综合考察学生研究问题、解决问题的能力.这道题难度很大，作为当年的压轴题出现.从命题背景来看，数据都采用真实的科研结果，保证了题目的科学性.同时将概率与递推数列相结合，增加数学不同板块间的交融性，又体现了主干知识的重要性.
未来在高考中，概率统计的解答题依然可能保持题干较长（阅读量大）、与实际相结合（医疗、科研、生产、信息技术等），难度较大（不排除会出现在压轴题的可能）.所以考生要重视数学在实际中的应用价值.
四.2020年计数原理与概率统计备考建议
1.复习的难度要把控好
研究真题的意义之一就是告诉我们高考会考什么样的题，难度如何.并不是一张试卷都是难题就是好的试卷.好试卷在难度上的控制是非常精准的，大约50%是基础题，就是送分给信心的，还有30%是中档题，需要一定的数学综合能力，最后是20%的压轴题，是选拔优秀人才的关键题目.
计数原理与概率统计与其他知识点结合的不多，自身有其特定的解题方法.但是在复习的时候，一定要结合近几年高考的难度和范围，不能一味追求偏、难、怪，否则很可能既浪费了时间，又模糊了复习的焦点.
比如理科生在复习排列组合的时候，基本不用复习隔板法、涂色问题等复杂的方法，但是一般的选排问题、插空与捆绑、特元特位法还是要掌握的.再比如二项式定理几乎都是围绕二项式（或者可以变形为二项式的三项式）或者一次项乘以多项式来出题，那么就没必要复习两个多项式相乘的形式.
上面这个题目在全国卷中出题的可能性就微乎其微，这样难度的题目就可以不作要求.
其他知识点的难度控制也是如此.所以我们一直强调备考要做到知己知彼，才能提高效率.
2.重视以下几个热门考点
从考点的角度看，每个考点出题的概率是不同的，从近三年的出题规律来看，必考点和轮考点的界限非常清晰.
文科必考点（大概率出题知识点）：古典概型、统计图表、样本的数字特征、线性回归方程、独立性检验.
文科轮考点（小概率出题知识点）：概率的性质、几何概型、随机抽样(重点是简单随机抽样和分层抽样)
理科必考点（大概率出题知识点）：排列组合、古典概型、随机变量的分布、期望与方差、正态分布、统计图表、样本的数字特征、线性回归方程、独立性检验.
理科轮考点（小概率出题知识点）：二项式定理、概率的性质、几何概型、随机抽样.
以上区分只是相对而言，实际中一定要结合试卷的类型再加以界定.比如二项式定理，全国1卷、2卷连续三年都没考过，但是3卷一直有出题的传统.所以最务实的复习策略还是要求无论是必考点还是轮考点都要兼顾到，轮考点不会出太难的题目，只要掌握基本题型和方法就可以.
从方向的角度看，近几年明显重视统计部分，所以要掌握好统计中的相关计算，比如在直方图中求中位数和平均值、在茎叶图中求平均值与方差、线性回归方程中相关公式的变形和数据处理依然是考试中的热点.
3.重视教材中的相关阐述
概率统计的绝对难度不如解析几何与导数，但是在最近5年的高考中屡屡有学生折腰.主要原因是很多人，包括很多教师不重视对这部分的理论研究，甚至很少研读教材.但是考试恰恰经常依据教材对理论的阐述出题.很多貌似新题出现后基本都能在教材中找到相关阐述，所以要学好概率统计一定要研读教材.
例如2015年全国1卷理科考查了利用换元法来研究非线性回归方程，这在教材中是有明确例题和讲解的.但是很多同学不重视教材，就吃了大亏.
基本定义的理解和原理的阐述在概率统计部分意义重大.重要且容易被大家忽略的点还有很多，比如：
古典概型的定义中对等可能性的要求，是不是所有的离散型随机变量都属于古典概型？
正态分布中3Q原则和随机变量的标准化；
条件概率与随机事件独立的区别和联系；
如何利用直方图计算样本的平均值、中位数、众数？
线性回归方程的适用范围，误差的衡量方法，残差的使用方法；
相关系数的计算与统计意义；
4.多联系生活实践，加强理解问题、分析问题、解决问题的能力.
加强对数据整理、加工分析、解读能力的考查，充分培养数学建模能力和信息处理能力，是今后概率统计的显著特色. 所以复习的时候就不能使用孤立的观点看待问题，认为概率统计就是概率统计，与其他知识点无关，与其他学科无关，甚至与生活无关，这都是不对的.
2020年初的新冠肺炎是一场重大的公共卫生事件，由此带来了人们对医疗卫生的重视，所以出题的背景极容易与此相联系.医学中经常使用的“双盲实验”也逐步被更多人认识，成为一种常识，学生们不妨了解一下简单的概念.再比如这些年经常被谈论的人口老龄化、病虫害防治、大数据信息化等公共话题，都可能成为出题的背景.多关心一点自己的国家发生的变化、关心社会的动态也是一种备考.
写到最后，计数原理和概率统计作为重要的知识板块，在出题数量上是相对稳定的，在出题方向上更加侧重考查统计的应用和在实际问题中解读数据的能力.在难度上可能会有局部的增强，但是不会变得太难.希望大家能认真分析以往的高考题，复习做到知己知彼，在高考中有更好地发挥.
以上是组合教育高考研究中心针对2020年高考数学概率统计命题分析与复习指导。如果大家想获得更详细、具体的备考指导,可以参考2020年《高考数学黄金预测卷》。该试卷针对新高考的趋势与特点做针对性的预测，出题方向和解题思路与高考真题逼近程度高，既可以作为个人考前复习使用，也可以作为辅导班的统一测试资料。
《黄金预测卷》连续6年来雄踞单科目预测资料榜首。2020年更采用“3重押题”的新模式，将考试方向预测、备考指导、视频讲解、高考反押题等有机整合，可以有效提高复习效率，减少考生成绩波动，在考前一个月给学生安全周到的复习帮助.
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