如何求解3次方程？

Question

如题所述

Answer 1

解:设一般的一元三次方程为 x^3+ax^2+bx+c=0
令 x=y-a/3,代入得
(y-a/3)^3+a(y-a/3)^2+b(y-a/3)+c=0
展开化简得 y^3+(b-a^2/3)y+(2a^3/27-ab/3+c)=0
这就变成了缺二次项的三次方程.因此解一般的三次方程可归结为解
形如 x^3+px+q=0 的方程.
令x=u+v,上式变为
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
为了求出u,v,只须设 3uv+p=0,从而有u^3+v^3+q=0.这就只要解方
程组:
u^3+v^3=-q..................(1)
(u^3)(v^3)=-p^3/27..........(2)
由韦达定理可知 u^3,v^3是二次方程 t^2+qt-p^3/27=0
的根,解此方程得
u^3=t1=[-q+√(q^2+4p^3/27)]/2=-(q/2)+√[(q^2)/4+p^3/27]
v^3=t2=-(q/2)-√[(q^2)/4+p^3/27]
由于u和v的立方根各有三种取法(把u^3和v^3写成复数的三角形式, 然后开立方),因而可得u+v的九组值,但九组值中只有三组满足条件:
3uv+p=0.这三组才是原方程的根.这样我们便得到用三次方程的系数
表示根的公式:x=u+v=
[-q/2+√(q^2/4+p^3/27)]^(1/3)+[-q/2-√(q^2/4+p^3/27)]^(1/3)
即是所谓的卡当公式.(此公式不好用,一般都不用它).
例:解方程 x^3+3x^2-3x-14=0
解:令x=y-1, 方程化为 y^3-6y-9=0(由此可知y=3是它的一个实数根,
因而可分解因式为(y-3)(y^2+3y+3)=0.若知道这麽解,下面的过程就
可全省去.作为上述解法的实例,我不用此法,继续往下作.)
又设y=u+v,则得
u^3+v^3-9+(3uv-6)(u+v)=0
令3uv-6=0,故u^3+v^3-9=0
∴得方程组:
(u^3)(v^3)=8........(1)
u^3+v^3=9...........(2)
由韦达定理可得二次方程t^2-9t+8=(t-8)(t-1)=0,即
u^3=8,v^3=1.
写成复数形式:
u^3=8(cos0°+isin0°)
v^3=cos0°+isin0°
于是u=2[cos(k*360°/3)+isin(k*360°/3)]
v=cos(k*360°/3)+isin(k*360°/3)
(k=o,1,2)
故u1=2, u2=2ω, u3=2ω^2, 其中ω=-1/2+i√3/2
v1=1, v2=ω^2, v3=ω.
(∵u1*v1=2; u2*v2=2ω^3=2*1=2; u3*v3=2ω^3=2,
满足3uv-6=0)
∴y1=u1+v1=2+1=3; y2=u2+v2=2ω+ω^2=-3/2+i√3/2;
y3=u3+v3=2ω^2+ω=-3/2-i√3/2.
因此原方程的根为:
x1=y1-1=3-1=2; x2=y2-1=-5/2+i√3/2; x3=y3-1=-5/2-i√3/2.
从上面可以看出三次方程确实可解,但这种解法并不一定是简捷的.特
别是,如果方程有有理根,那么先用综合除法找出有理根会更方便些

参考资料：http://ks.cn.yahoo.com/question/1408022904629.html

Answer 2

一元三次方程的标准形：aX^3+bX^2+cX+d=0， 令X=Y—b/(3a)，代入上式，得： 一元三次方程的特殊形：X^3+pX+q=0。
编辑本段一元三次方程的韦达定理
设方程为 aX^3+bX^2+cX+d=0， 则有 X1·X2·X3=—d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=—b/a。
编辑本段一元三次方程解法思想
一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解．
编辑本段一元三次方程解法的发现
中国南宋伟大的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多。现在，这种方法被后人称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。 欧洲三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的． 最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为”口吃者”）．他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：”波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．”卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突。最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的。 三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来。 由于卡尔丹在1545年首先发表了三次方程X^3+pX+q=0的解法，因此数学资料称此解法为“卡尔丹公式”并沿用至今。 以下介绍的三次方程X^3+pX+q=0的解法，就是上文中提到的卡尔丹公式解法。
编辑本段一元三次方程的卡尔丹公式解法

Answer 3

有例题么 ，有就好办了追问

P=RT/(V-b)-a/[V(V+b)+b(V-b)] 求式中的V?

追答

解:设一般的一元三次方程为 x^3+ax^2+bx+c=0
令 x=y-a/3,代入得
(y-a/3)^3+a(y-a/3)^2+b(y-a/3)+c=0
展开化简得 y^3+(b-a^2/3)y+(2a^3/27-ab/3+c)=0
这就变成了缺二次项的三次方程.因此解一般的三次方程可归结为解
形如 x^3+px+q=0 的方程.
令x=u+v,上式变为
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
为了求出u,v,只须设 3uv+p=0,从而有u^3+v^3+q=0.这就只要解方
程组:
u^3+v^3=-q..................(1)
(u^3)(v^3)=-p^3/27..........(2)
由韦达定理可知 u^3,v^3是二次方程 t^2+qt-p^3/27=0
的根,解此方程得
u^3=t1=[-q+√(q^2+4p^3/27)]/2=-(q/2)+√[(q^2)/4+p^3/27]
v^3=t2=-(q/2)-√[(q^2)/4+p^3/27]
由于u和v的立方根各有三种取法(把u^3和v^3写成复数的三角形式, 然后开立方),因而可得u+v的九组值,但九组值中只有三组满足条件:
3uv+p=0.这三组才是原方程的根.这样我们便得到用三次方程的系数
表示根的公式:x=u+v=
[-q/2+√(q^2/4+p^3/27)]^(1/3)+[-q/2-√(q^2/4+p^3/27)]^(1/3)
即是所谓的卡当公式.(此公式不好用,一般都不用它).
例:解方程 x^3+3x^2-3x-14=0
解:令x=y-1, 方程化为 y^3-6y-9=0(由此可知y=3是它的一个实数根,
因而可分解因式为(y-3)(y^2+3y+3)=0.若知道这麽解,下面的过程就
可全省去.作为上述解法的实例,我不用此法,继续往下作.)
又设y=u+v,则得
u^3+v^3-9+(3uv-6)(u+v)=0
令3uv-6=0,故u^3+v^3-9=0
∴得方程组:
(u^3)(v^3)=8........(1)
u^3+v^3=9...........(2)
由韦达定理可得二次方程t^2-9t+8=(t-8)(t-1)=0,即
u^3=8,v^3=1.
写成复数形式:
u^3=8(cos0°+isin0°)
v^3=cos0°+isin0°
于是u=2[cos(k*360°/3)+isin(k*360°/3)]
v=cos(k*360°/3)+isin(k*360°/3)
(k=o,1,2)
故u1=2, u2=2ω, u3=2ω^2, 其中ω=-1/2+i√3/2
v1=1, v2=ω^2, v3=ω.
(∵u1*v1=2; u2*v2=2ω^3=2*1=2; u3*v3=2ω^3=2,
满足3uv-6=0)
∴y1=u1+v1=2+1=3; y2=u2+v2=2ω+ω^2=-3/2+i√3/2;
y3=u3+v3=2ω^2+ω=-3/2-i√3/2.
因此原方程的根为:
x1=y1-1=3-1=2; x2=y2-1=-5/2+i√3/2; x3=y3-1=-5/2-i√3/2.
从上面可以看出三次方程确实可解,但这种解法并不一定是简捷的.特
别是,如果方程有有理根,那么先用综合除法找出有理根会更方便些 。