据我观察，凡是自认为没学好量子力学的朋友，都是只会解 Schrödinger 方程、或者是一本常规的量子力学书看下来，便停在解 Schrödinger 方程有关的章节翻不过去了的。这一点非常可怕。
在我看来，学会量子力学的关键不在于你会那些「高等数学」的技巧，不在于你能解 Schrödinger 方程不查表——而要学熟练地用「代数」来描述和推导。例如以下的一些问题，我认为是很基本的，它们都可以用代数的方法有很干净的推导：
谐振子问题的升降算符解法。自旋（甚至角动量）升降算符的有关推导。从 Fermi 子和 Bose 子的对易关系推导出 Fermi 统计和 Bose 统计。
我前面讲的这些例子，都是从具体物理体系的一些对易关系出发，让你亲自感受到什么是「量子化」。真正的研究也更像这样。有了对易关系、找出一些守恒量、写出系统的 Hamiltonian 并作进一步的处理、最终处理这些体系中的实际问题。而不是去处理无限深、有限深的势阱。不需要那么多的「高等数学」。这里的「高等数学」是指与解 Schrödinger 方程有关的那些小技巧。如果你想学懂量子力学，请一开始千万不要在那些东西上浪费时间。一旦发现有自己急需但确实没有掌握的数学或者物理背景，再临时去学一点也好。
如果还有其它问题也可以在这里跟比我更厉害的大神们交流。
掌握描述量子力学时用到的数学工具。
理解用量子力学描述物理系统的思想方法。
学好量子力学需要掌握的数学工具如下：
一些基本的数学分析知识，包括基础的实变函数，复变函数，常微分和偏微分方程等。这些我认为任何理科的高等数学或者数学分析课程都会涵盖。
对一些基本的特殊函数的了解，如球谐函数，贝塞尔函数等。这些在物理系本科所开的数学物理方法课程中会有介绍，当然自行查阅亦无不可。
对于线性代数基础概念比较好的理解，包括线性空间，子空间，正交，基，矩阵和线性变换，本征值和本征向量。尤其要建立起矩阵就是变换，和本征向量转化为基的概念，因为这是描述量子力学的基础。这些概念在本科的线性代数课程中也应该清晰明了的建立起来。
最好有一点群论的基础，对理解对称性会有帮助。
以上四条，以我之见，1,2,4都可以要求不那么严格。在学习量子力学的过程中遇到问题再回头查阅解决也完全可行。但是对于线性代数，因为要求的是对其基础概念的本质把握，不大可能遇到一个疑难现报佛脚。其实这些都是本科线性代数课程的基本知识；但是据我所知，由于缺乏好的中文线性代数教材，有很多学生在学完线性代数后对其本质仍然一知半解。如果你在这方面有所欠缺，而又想学好量子力学的话，就需要补一补课。我当年用的是蓝以中和赵春来的线性代数引论，个人觉得不错，引入行列式的脉络很清晰。
解决上述难题，人们另辟蹊径，于1976年提出了公开密钥密码体制的思想：将密钥分成公开密钥和秘密密钥两部分，分别决定互逆的加密映射和解密映射。在这种密码体制 下，每个用户均有自己的公开密钥和秘密密钥。公开密钥是公开的，可以象电话号码一样供人查阅，这样，通信双方不必事先约定即可进行保密通信，也不存在需要“安全通道”传送密钥的问题； 秘密密钥则是秘密的，由每个用户自己保存，供解密之用。典型的一个公钥密码体系是RSA密码体制，它主要是基于经典计算机几乎无法完成大数分解有效计算这一事实。从这个意义上讲，如果人们能够在实际中实现“Shor大数因子化”的量子算法，RSA 保密体制完成的任何加密就会被解密。因此，量子计算会对由传统密码体系保护的信息安全构成致命的打击，对现有保密通讯提出了严峻挑战。要预防这种打击，必须采取量子的方式加密。虽然量子密码体系当初并非因此而生，但它的确是解决这个问题的有效途径。
经典的密码学是一门古老的学科，它的起源可以追溯到几千年前的古埃及、古罗马时代。 早在四千年前，古埃及一些贵族墓碑上的铭文就已经具备了密码的两个基本要素：秘密性和信息的有意变形。尽管如此，密码学作为一门严格的科学建立起来还仅仅是近五十年的事。可以说，直到1949年以前， 密码研究更象是一门艺术而非科学。主要原因在于，在这个时期没有任何公认的客观标准衡量各种密码体制的安全性，因此也就无法从理论上深入研究信息安全问题。1949年，C.E.Shannon发表了《保密系统的通信理论》，把密码学建立在严格的数学基础之上。密码学从此才成为真正意义上的科学。
