线性代数，求详细分析和解题过程

Question

如题所述

Answer 1

解：根据题意可知，α1和α2线性无关且r向量可以由α1和α2线性表示。首先我们可以设r＝（x，y，z）^T那么我们可以知道行列式A＝|α1，α2，r|＝0（线性相关的性质），可以得到一个三元一次方程，然后同理B＝|β1，β2，r|＝0又可以列出一个三元一次方程，然后两个方程联立方程组求解x，y，z之间的关系即可求出r。最终结果r＝k（0，1，1）^T，其中k为常数。

Answer 2

可由 β1，β2 线性表出， 则可设 γ = pβ1+qβ2 = (-3p, 2p+q, -5p+q)^T, 则
A = (α1, α2, γ) =
[1 2 -3p]
[0 -1 2p+q]
[2 3 -5p+q]
初等行变换为
[1 2 -3p]
[0 -1 2p+q]
[0 -1 p+q]
初等行变换为
[1 0 p+2q]
[0 1 -2p-q]
[0 0 -p]
r(A) = < 3, 得 p = 0
初等行变换为
[1 0 2q]
[0 1 -q]
[0 0 0]
故得所有满足条件的向量 γ = q(2, -1, 0)^T, q 为任意常数。